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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

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$T$の積率母関数を求める。

\begin{align}
E\left[ e^{\theta t}\right] &= E\left[ \exp\left\{\theta \left(-2\sum_{i=1}^n \log F_i(x_i) \right)\right\}\right] \lnl
&= E\left[ \exp\left(\sum_{i=1}^n \log F_i(x_i)^{-2\theta}\right) \right] \lnl
&= E\left[ F_1(x_1)^{-2\theta} F_2(x_2)^{-2\theta} \cdots F_n(x_n)^{-2\theta} \right] \lnl
&=E\left[ F_1(x_1)^{-2\theta}\right]E\left[ F_2(x_2)^{-2\theta}\right] \cdots E\left[F_n(x_n)^{-2\theta} \right] \lnl
\end{align}

ここで、$ F_i $は分布関数であるので、定義域は$ [0,1 ]$ である。

\begin{align}
E\left[ F_i(x_i)^{-2\theta}\right] &= \int_0^1 F_i(x)^{-2\theta} \delt F_i(x)\lnl
&= \left[ \frac{F_i(x)^{1-2\theta}}{1-2\theta} \right]_0^1 \lnl
&= \frac{1}{1-2\theta}
\end{align}

であるから、

\begin{align}
E\left[ e^{\theta t}\right] &= \left[\frac{1}{1-2\theta} \right]^n
\end{align}

これは、自由度$2n$の$\chi^2$分布の積率母関数に等しい。
よって示された。