はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex7.4.10
検定
$p$を真のアルバイトをしている学生の比率とする.$p_0=0.5$とし,帰無仮説$H_0:p \le p_0$ ,対立仮説$H_1:p > p_0$の仮説検定を行う.なお問題では水準$\alpha$が指定されていないため, $\alpha=0.01$として解答する.
テキスト(7.4.7)(a)より
\begin{align}
Z_0 = \frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\displaystyle \frac{p_0(1-p_0)}{n}}} > z_\alpha
\end{align}
Z_0 = \frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\displaystyle \frac{p_0(1-p_0)}{n}}} > z_\alpha
\end{align}
であれば帰無仮説を棄却する.ただし$\hat{p}=0.7$は標本平均,$n=100$は標本数である.
\begin{align}
Z_0 = \frac{0.7-0.5}{\sqrt{\displaystyle \frac{0.5\cdot 0.5}{100}}} = 4
\end{align}
Z_0 = \frac{0.7-0.5}{\sqrt{\displaystyle \frac{0.5\cdot 0.5}{100}}} = 4
\end{align}
である.また統計表から
\begin{align}
z_{0.01} = 2.33
\end{align}
z_{0.01} = 2.33
\end{align}
であるので,$Z_0 > z_{0.01}$が成り立ち,帰無仮説$H_0$が棄却され,対立仮説$H_1$が採択される.
有意確率
$Z$を標準正規分布に従う確率変数とする.
有意確率$p’$は
\begin{align}
p’ = P(Z > Z_0) = P(Z > 4) < P(Z > 3.99) = 1-0.999959 = 0 0.000041
\end{align}
p’ = P(Z > Z_0) = P(Z > 4) < P(Z > 3.99) = 1-0.999959 = 0 0.000041
\end{align}
である.