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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

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区間$ I = \{x ; h(x) \ge a\} $とする。

\begin{align}
E(h(X)) &= \int_{-\infty}^\infty h(x) f(x) \delt x\lnl
&\ge \int _I h(x) f(x) \delt x\lnl
&\ge \int_I a f(x) \delt x &(\because \forall x\in I , h(x) \ge a)\lnl
&=aP(h(X) \ge a)
\end{align}

両辺を$ a $で割って、

\begin{align}
P(h(X) \ge a) \le \frac{E(h(X))}{a}
\end{align}

よって示された。