1.1.3.重複順列

$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

重複順列

相異なる$n$個の物から重複を許して$k$個を順番に選ぶことを重複順列(Permutation with Repetition)といいます.この場合の重複順列の総数を${}_n\Pi_k$と表します.
なお, 順列とは異なり$k$は$n$より大きくても小さくても同じでも問題ないです.ただし , $k \ge 1$とします.

重複順列の計算

重複順列の計算はとても簡単です.
$n=12 , k=3$のケースを考えましょう.これは$12$個の物から重複を許して$3$個選んで並べる並べ方の総数を求めるということです.

$1$番目は$12$個のうち何を選んでもいいので$12$通りです.
$2$番目も$12$個のうち何を選んでもいいので$12$通りです.
$3$番目も$12$個のうち何を選んでもいいので$12$通りです.

上記から,総数${}_{12}\Pi_3 = 12\times 12 \times 12 = 12^3$とわかります.

一般の$n$と$k$の場合も同様に考えれば ,

\begin{align}
{}_{n}\Pi_k = \underbrace{n\times n \times \cdots \times n}_{k\text{個}} = n^k
\end{align}

となります.

まとめ

相異なる$n$個の物から重複を許して$k$個を選び,並べることを重複順列といい,重複順列の総数を${}_n\mathrm{H}_k$と表す.

\begin{align}
{}_n\Pi_k = \underbrace{n\times n \times \cdots \times n}_{k\text{個}} = n^k
\end{align}