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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex2.6.5

$ m_X(t) $の定義から、

\begin{align}
m_X(t) =E(e^{tX}) = \sum_{x} e^{tx} \cdot f_X(x)
\end{align}

である。与えられた積率母関数の$ e $の乗数から、$ x= 1 , 3 , 7 $の値のみ取ることがわかる。
また、$ f_X(x) $は$ e^{tx} $の係数だから、

\begin{align}
f_X(x) = \begin{cases}\cfrac{1}{6}&(x=1)\lnl
\cfrac{2}{6}&(x=3)\lnl
\cfrac{3}{6}&(x=7)\lnl
0&(\text{other})\end{cases}
\end{align}

従って、$X$の分布は

\begin{align}
F_X(x) = \begin{cases} 0 & (x < 1)\lnl \cfrac{1}{6}&( 1 \le x < 3)\lnl \cfrac{1}{2}&(3 \le x < 7)\lnl 1&(7 \le x)\end{cases} \end{align}