ex6.2.5 ポアソン分布のexp(-λ)のUMVUEが有効推定量ではないことの証明

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex6.2.5

テキストの例6.2.3より$e^{-\lambda}$のUMVUEは$T(S)=\left(\cfrac{n-1}{n}\right)^S$である.ここで$S=\displaystyle \sum_{i=1}^n X_i$である.

$T=T(S)$の分散を求める.$T$がUMVUEなので$E(T)=e^{-\lambda}$である.$S$はポアソン分布の再生性より$\mathrm{Po}(n\lambda)$に従うことから,

\begin{align}
E(T^2) &= \sum_{i=0}^\infty T(s)^2 \frac{(n\lambda)^2}{s!} e^{-n\lambda} \lnl
&= \sum_{i=0}^\infty \left(\frac{n-1}{n}\right)^{2s} \frac{(n\lambda)^s}{s!} e^{-n\lambda} \lnl
&= \sum_{i=0}^\infty \left(\frac{n^2-2n+1}{n}\right)^{s} \frac{\lambda^s}{s!} e^{-n\lambda} \lnl
&\left(K=\frac{n^2-2n+1}{n} \text{とおく}\right)\lnl
&= \sum_{i=0}^\infty \frac{(K\lambda)^s}{s!} e^{-n\lambda} \lnl
&= e^{(K-n)\lambda} \underline{\sum_{i=0}^\infty \frac{(K\lambda)^s}{s!} e^{-K\lambda}} \label{eq-allpro1} \lnl
&= e^{(K-n)\lambda}\label{eq-allpro2}\lnl
&= \exp\left(\left(\frac{n^2-2n+1}{n} – n\right)\lambda \right)\lnl
&= \exp\left(\left(\frac{1}{n} – 2\right)\lambda \right)
\end{align}

ここで$\eqref{eq-allpro1}$から$\eqref{eq-allpro2}$への変形は下線部が$\mathrm{Po}(K\lambda)$に従う確率変数の全確率$1$に等しいことを用いた.

従って$T$の分散は

\begin{align}
V(T) &= E(T^2) – E(T)^2 \lnl
&= \exp\left(\left(\frac{1}{n} – 2\right)\lambda \right) – \exp(-2\lambda)\lnl
&= e^{-2\lambda}\left(e^{\frac{\lambda}{n}}-1\right)
\end{align}

となり示された.

参考:$T$を求める

上記では「テキストの例6.2.3」で$e^{-\lambda}$のUMVUEが与えられているものとして解答しました.例6.2.3の$T$の導き方は複雑なので, 別解を示します.

$S=S(\bm{X}) = \displaystyle \sum_{i=1}^n X_i$の関数$T=g(S)$に対して,$E(g(S))= e^{-\lambda}$となるものがUMVUEとなる.

\begin{align}
&E(g(S)) = \sum_{s=0}^\infty g(s) \frac{(n\lambda)^s}{s!} e^{-n\lambda} = e^{-\lambda} \lnl
\Longleftrightarrow & \sum_{s=0}^\infty g(s) \frac{(n\lambda)^s}{s!} = e^{(n-1)\lambda}\lnl
\Longleftrightarrow & \sum_{s=0}^\infty g(s)\left(\frac{n}{n-1}\right)^s \frac{((n-1)\lambda)^s}{s!} = e^{(n-1)\lambda}
\end{align}

これは$g(s) = \left(\cfrac{n-1}{n}\right)^s$のとき成立.つまりUMVUEは$T= \left(\cfrac{n-1}{n}\right)^S$である.