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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

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(i)非復元抽出の場合、$X$は$N=60 , K=60×0.2=12 , n=10$の超幾何分布に従う。
(a)

\begin{align}
P(X=0) = \frac{\binom{12}{0}\binom{48}{10}}{\binom{60}{10}} = \frac{\binom{48}{10}}{\binom{60}{10}}
\end{align}

(b)

\begin{align}
P(X\ge 1) = 1- P(X=0) = 1 – \frac{\binom{48}{10}}{\binom{60}{10}}
\end{align}

(c)
超幾何分布の期待値は$ n\times \cfrac{K}{N} $であるから、

\begin{align}
E(X) = 10\times \frac{12}{60} = 2
\end{align}

(d)
超幾何分布の分散は$ n \times \cfrac{K}{N} \left(1- \cfrac{K}{N}\right) \times \cfrac{N-n}{N-1} $だから、

\begin{align}
V(X) = 10\times \frac{12}{60} \times \left(1- \frac{12}{60}\right) \times \frac{60-10}{60-1}= \frac{80}{59}
\end{align}

(ii)復元抽出の場合、$X$は$n=10 , p=0.2$の二項分布に従う。
(a)

\begin{align}
P(X=0) = \binom{10}{0}(0.2)^0(0.8)^{10} = (0.8)^{10}
\end{align}

(b)

\begin{align}
P(X\ge 1) = 1- P(X=0) = 1 – (0.8)^{10}
\end{align}

(c)
二項分布の期待値は $np$ であるから、

\begin{align}
E(X) = 10\times 0.2 = 2
\end{align}

(d)
二項分布の分散は$np(1-p)$だから、

\begin{align}
V(X) = 10\times 0.2 \times 0.8 = 1.6
\end{align}