はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
|
間違い等発見されましたらご指摘ください。
他の解答はこちらから。
なお、問題文は(必要がない限り)掲載しておりません。テキストを横に置いてご覧ください。
また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。
スポンサーリンク
$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex3.9.1
定義に従って計算する。
\begin{align}
\begin{split}
E\left(\frac{1}{X}\right) &= \int_0^\infty \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma \left(\frac{n}{2}\right) } x^{\frac{n}{2} – 1} e^{-\frac{x}{2}} \delt x \lnl
&=\int_0^\infty \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma \left(\frac{n}{2}\right) } x^{\frac{n}{2} – 2} e^{-\frac{x}{2}} \delt x \lnl
&= \left[ \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma \left(\frac{n}{2}\right) } \frac{2}{n-2}x^{\frac{n}{2} – 1} e^{-\frac{x}{2}} \right]_0^{\infty} \lnl
&\quad\quad- \int_0^\infty \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma \left(\frac{n}{2}\right) } \frac{2}{n-2}x^{\frac{n}{2} – 1} e^{-\frac{x}{2}}\left(-\frac{1}{2}\right) \delt x\lnl
&=\frac{1}{n-2} \int_0^\infty \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma \left(\frac{n}{2}\right) } x^{\frac{n}{2} – 1} e^{-\frac{x}{2}} \delt x \lnl
&= \frac{1}{n-2}
\end{split}
\end{align}
\begin{split}
E\left(\frac{1}{X}\right) &= \int_0^\infty \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma \left(\frac{n}{2}\right) } x^{\frac{n}{2} – 1} e^{-\frac{x}{2}} \delt x \lnl
&=\int_0^\infty \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma \left(\frac{n}{2}\right) } x^{\frac{n}{2} – 2} e^{-\frac{x}{2}} \delt x \lnl
&= \left[ \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma \left(\frac{n}{2}\right) } \frac{2}{n-2}x^{\frac{n}{2} – 1} e^{-\frac{x}{2}} \right]_0^{\infty} \lnl
&\quad\quad- \int_0^\infty \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma \left(\frac{n}{2}\right) } \frac{2}{n-2}x^{\frac{n}{2} – 1} e^{-\frac{x}{2}}\left(-\frac{1}{2}\right) \delt x\lnl
&=\frac{1}{n-2} \int_0^\infty \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma \left(\frac{n}{2}\right) } x^{\frac{n}{2} – 1} e^{-\frac{x}{2}} \delt x \lnl
&= \frac{1}{n-2}
\end{split}
\end{align}