はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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なお、問題文は(必要がない限り)掲載しておりません。テキストを横に置いてご覧ください。
また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex6.5.3
$A$を
\begin{align}
A = \frac{\left(\overline{Y} – \overline{X}\right) – \left(\mu_2 – \mu_1\right)}{\sqrt{\cfrac{{\sigma_1}^2}{n} +\cfrac{{\sigma_2}^2}{m} } }
\end{align}
A = \frac{\left(\overline{Y} – \overline{X}\right) – \left(\mu_2 – \mu_1\right)}{\sqrt{\cfrac{{\sigma_1}^2}{n} +\cfrac{{\sigma_2}^2}{m} } }
\end{align}
で定義する.$\overline{X}\sim \mathrm{N}\left(\mu_1,{\sigma_1}^2/n\right) , \overline{Y}\sim \mathrm{N}\left(\mu_1,{\sigma_2}^2/m\right) $なので,テキスト(3.6.5)より$\overline{Y}-\overline{X} \sim \mathrm{N}\left(\mu_2 – \mu_1 , {\sigma_1}^2/n + {\sigma_2}^2/m \right)$となる.従って, $A\sim \mathrm{N}(0,1)$である.
\begin{align}
P&\left( \overline{Y}-\overline{X}- z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{ \frac{{\sigma_1}^2}{n} + \frac{{\sigma_2}^2}{m}} \le \mu_2 – \mu_1 \le\overline{Y}-\overline{X} + z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{ \frac{{\sigma_1}^2}{n} + \frac{{\sigma_2}^2}{m}} \right)\lnl
&=P\left(-z_{\frac{\alpha}{2}} \le A \le z_{\frac{\alpha}{2}}\right)\\
&= 1-\alpha
\end{align}
P&\left( \overline{Y}-\overline{X}- z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{ \frac{{\sigma_1}^2}{n} + \frac{{\sigma_2}^2}{m}} \le \mu_2 – \mu_1 \le\overline{Y}-\overline{X} + z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{ \frac{{\sigma_1}^2}{n} + \frac{{\sigma_2}^2}{m}} \right)\lnl
&=P\left(-z_{\frac{\alpha}{2}} \le A \le z_{\frac{\alpha}{2}}\right)\\
&= 1-\alpha
\end{align}
よって示された.