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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex2.4.10

(i)$W$の定義より、

\begin{align}
&w = x- y \Leftrightarrow x = w+y\\
&\therefore 0 < x < 1 \Leftrightarrow 0 < w+y < 1\\ &\therefore\begin{cases}-w < y < 1&(-1 < w < 0)\\ 0 < y < 1-w& (0 \le w < 1)\end{cases} \end{align}
従って、 (a)$ -1 < w < 0$のとき、
\begin{align} f_W(w) &= \int_{-w}^1 f_{X,Y}(w+y,y) \delt y\\ &= \int_{-w}^1 (w+2y) \delt y\\ &= w+1 \end{align}
(b)$ 0 \le w < 1$のとき、同様にして
\begin{align} f_W(w) = \int_{0}^{1-w} f_{X,Y}(w+y,y) \delt y = 1-w \end{align}
(c)$w$がその他のとき
\begin{align} f_W(w) = 0 \end{align}
(ii)(2.4.9)の(iii)より、
\begin{align} f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}\left(x,\frac{z}{x}\right) \frac{1}{|x|} \delt x \end{align}
である。 $ f_{X,Y}(x,y) \ne 0 \Leftrightarrow 0< x < 1 , 0 < y < 1$であるから、
\begin{align} &f_{X,Y}\left(x,\frac{z}{x}\right) \not = 0\\ \Leftrightarrow & 0 < x < 1 , 0 < z/x < 1\\ \Leftrightarrow & 0 < z < x < 1 \end{align}
従って、 (a) $0 < z < 1$のとき、
\begin{align} f_Z(z) &= \int_{z}^{1} f_{X,Y}\left(x,\frac{z}{x}\right) \frac{1}{|x|} \delt x\\ &= \int_z^1 \left(1 + \frac{z}{x^2}\right) \delt x &(\because 0 < x)\\ &= 2(1-z) \end{align}
(b)$ z$がその他のとき、
\begin{align} f_Z(z) = 0 \end{align}
(iii)(2.4.9)の(iv)より、
\begin{align} f_T(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(xt,x) |x| \delt x \end{align}
である。 $ f_{X,Y}(x,y) \ne 0 \Leftrightarrow 0< x < 1 , 0 < y < 1$であるから、
\begin{align} &f_{X,Y}(xt,x) \not = 0\\ \Leftrightarrow & 0 < xt < 1 , 0 < x < 1\\ \Leftrightarrow & 0 < x < \min(1/t ,1)\\ \Leftrightarrow & \begin{cases}0 < x < 1 & (0 < t < 1)\\ 0 < x < 1/t & (t \ge 1)\end{cases} \end{align}
従って、 (a) $0 < t < 1$のとき、
\begin{align} f_T(t) &= \int_{0}^{1} f_{X,Y}(xt,x) |x| \delt x\\ &= \int_{0}^{1} (t+1)x^2 \delt x &(\because 0 < x)\\ &= \frac{t+1}{3} \end{align}
(b) $ t \ge 1$のとき、
\begin{align} f_T(t) &= \int_{0}^{1/t} f_{X,Y}(xt,x) |x| \delt x\\ &= \frac{t+1}{3t^3} \end{align}
(c) $ t$がその他の場合、
\begin{align} f_T(t) = 0 \end{align}
※テキストの解答では(a)の区間に$ t=0$も含めていますが、$t=0$の場合は$x=0$ですから、積分区間全体で$f_{X,Y}(xt,x)=0$となり、「その他の場合」に含まれることがわかります。ここで示した解答の通り議論していけば(a)に$ t=0$を含める余地はないです。 ※$ t=1$は(a)(b)どちらに含んでも同じことですからどちらでもよいです。