はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex4.6.5
$Y_n$の確率関数$f_y(k)$は, $k=0,1,\cdots$で,
\begin{align}
f_y(k) = \frac{n^k}{k!}e^{-n}
\end{align}
f_y(k) = \frac{n^k}{k!}e^{-n}
\end{align}
となる.$\cfrac{(Y_n-n)}{\sqrt{n}}$の積率母関数$m_n(t)$は,
\begin{align}
m_n(t) &= \sum_{k=0}^\infty \exp\left(\frac{k-n}{\sqrt{n}}t \right) \cdot \frac{n^k}{k!}e^{-n}\lnl
&= \sum_{k=0}^\infty \frac{\left(e^\frac{t}{\sqrt{n}} n\right)^k}{k!}e^{-n-t\sqrt{n}}\lnl
&= \underline{\sum_{k=0}^\infty \frac{\left(e^\frac{t}{\sqrt{n}} n\right)^k}{k!} \exp\left(-e^\frac{t}{\sqrt{n}} n \right)}\cdot \frac{\exp\left(-n-t\sqrt{n}\right)}{\exp\left(-e^\frac{t}{\sqrt{n}} n \right)} \label{eq-p1}\lnl
&= \frac{\exp\left(-n-t\sqrt{n}\right)}{\exp\left(-e^\frac{t}{\sqrt{n}} n \right)} \label{eq-p2}\lnl
&= \exp\left(-n-t\sqrt{n} + e^\frac{t}{\sqrt{n}}n\right) \label{eq-p3}
\end{align}
m_n(t) &= \sum_{k=0}^\infty \exp\left(\frac{k-n}{\sqrt{n}}t \right) \cdot \frac{n^k}{k!}e^{-n}\lnl
&= \sum_{k=0}^\infty \frac{\left(e^\frac{t}{\sqrt{n}} n\right)^k}{k!}e^{-n-t\sqrt{n}}\lnl
&= \underline{\sum_{k=0}^\infty \frac{\left(e^\frac{t}{\sqrt{n}} n\right)^k}{k!} \exp\left(-e^\frac{t}{\sqrt{n}} n \right)}\cdot \frac{\exp\left(-n-t\sqrt{n}\right)}{\exp\left(-e^\frac{t}{\sqrt{n}} n \right)} \label{eq-p1}\lnl
&= \frac{\exp\left(-n-t\sqrt{n}\right)}{\exp\left(-e^\frac{t}{\sqrt{n}} n \right)} \label{eq-p2}\lnl
&= \exp\left(-n-t\sqrt{n} + e^\frac{t}{\sqrt{n}}n\right) \label{eq-p3}
\end{align}
ここで,$\eqref{eq-p1}$から$\eqref{eq-p2}$への変換は下線部がパラメータ$\left(e^\frac{t}{\sqrt{n}}n\right)$のポアソン分布の全確率$1$に等しくなることを用いた.
$\eqref{eq-p3}$の$\exp$の中の$n\to\infty$の極限を求める.$s=\cfrac{1}{\sqrt{n}}$とする.
\begin{align}
\lim_{n\to \infty} (-n-t\sqrt{n} + e^\frac{t}{\sqrt{n}}n) &= \lim_{s\to 0} -\frac{1+st-e^{st}}{s^2} \label{eq-p4}\lnl
&= \lim_{s\to 0} -\frac{t-te^{st}}{2s} \label{eq-p5}\lnl
&= \lim_{s\to 0} -\frac{-t^2e^{st}}{2} \label{eq-p6}\lnl
&= \frac{t^2}{2}
\end{align}
\lim_{n\to \infty} (-n-t\sqrt{n} + e^\frac{t}{\sqrt{n}}n) &= \lim_{s\to 0} -\frac{1+st-e^{st}}{s^2} \label{eq-p4}\lnl
&= \lim_{s\to 0} -\frac{t-te^{st}}{2s} \label{eq-p5}\lnl
&= \lim_{s\to 0} -\frac{-t^2e^{st}}{2} \label{eq-p6}\lnl
&= \frac{t^2}{2}
\end{align}
となるので,
\begin{align}
\lim_{n\to \infty} m_n(t) = \exp\left(\frac{t^2}{2}\right)
\end{align}
\lim_{n\to \infty} m_n(t) = \exp\left(\frac{t^2}{2}\right)
\end{align}
となる.これは標準正規分布の積率母関数であるので題意は示された.
なお,$\eqref{eq-p4} \to \eqref{eq-p5} \to \eqref{eq-p6}$の変形はロピタルの定理による.