ex2.A.12

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex2.A.12

$ X \sim U(40,50) , Y \sim (0,30) $である。
$ Z = X + Y $とする。$z$の値域は$ 40 \le z \le 80 $である。
$X,Y,Z$の密度関数は、

\begin{align}
f_X(x) &= \frac{1}{10}\\
f_Y(y) &= \frac{1}{30}\\
f_Z(z) &= \int_{-\infty}^\infty f_Y(y) f_X(z-y)\delt y
\end{align}

$x,y$の値域から、

\begin{align}
0 &\le y \le 30\\
40 &\le z-y \le 50 \Rightarrow z-50 \le y \le z-40
\end{align}

従って、$z$の値で場合分けする。
(i) $ 40 \le z \le 50 $

\begin{align}
f_Z(z) &= \int_0^{z-40} \frac{1}{10}\cdot\frac{1}{30} \delt y \lnl
&= \frac{z-40}{300}
\end{align}

(ii)$ 50 < z \le 70 $

\begin{align} f_Z(z) &= \int_{z-50}^{z-40} \frac{1}{10}\cdot\frac{1}{30} \delt y \lnl &= \frac{1}{30} \end{align}
(iii)$ 70 < z \le 80 $
\begin{align} f_Z(z) &= \int_{z-50}^{30} \frac{1}{10}\cdot\frac{1}{30} \delt y \lnl &= \frac{80-z}{300} \end{align}
求める確率は、
\begin{align} P(Z \le 60) &= \int_{40}^{60} f_Z(z) \delt z \lnl &= \int_{40}^{50} \frac{z-40}{300} \delt z + \int_{50}^{60} \frac{1}{30} \delt z\lnl &= \frac{1}{2} \end{align}
また、$Z$の期待値は、
\begin{align} E(Z) &= \int_{40}^{80} z\cdot f_Z(z) \delt z \lnl &= \int_{40}^{50} z\cdot \frac{z-40}{300} \delt z + \int_{50}^{70} z \cdot \frac{1}{30} \delt z + \int_{70}^{80} z\cdot \frac{80-z}{300} \delt z\lnl &= \frac{1}{300}\left[\frac{1}{3}z^3 - 20 z^2\right]_{40}^{50} + \frac{1}{30}\left[\frac{1}{2}z^2\right]_{50}^{70} + \frac{1}{300}\left[40z^2 - \frac{1}{3}z^3\right]_{70}^{80}\lnl &= 60 \end{align}
よって、平均到着時刻は10時。