ex7.5.6 指数分布への適合度検定

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex7.5.6

カイ二乗検定

帰無仮説$H_0$:「指数分布に従う」に対する検定を行う.$H_0$が正しいとしてパラメータ$\beta$の最尤推定量$\hat{\beta}$を求める.$\hat{\beta}=\cfrac{1}{\overline{X}}$から,

\begin{align}
\overline{X} &= \frac{50\cdot 148 + 150\cdot 85 + 250\cdot 42 + 350\cdot 20 + 450\cdot 5}{300} = 133
\end{align}

であるから,$\hat{\beta}=133^{-1}$となる.従ってこの指数分布の累積分布関数$F$は,
\begin{align}
F(x) = \int_{0}^{x} \frac{1}{133}\exp\left(-\frac{t}{133}\right) \delt t = 1- \exp\left(-\frac{x}{133}\right)
\end{align}

となる.従って各期待確率は,
\begin{align}
&P(0 < X \le 100) = F(100)-F(0) = 0.528521\\ &P(100 < X \le 200) = F(200)-F(100) = 0.249187\\ &P(200 < X \le 300) = F(300)-F(200) = 0.117486\\ &P(300 < X \le 400) = F(400)-F(300) = 0.055392\\ &P(400 < X ) = 1-F(400) = 0.049414 \end{align}
となる.従って各区分の期待度数は,
\begin{align} 158.56 , \quad 74.76 ,\quad 35.25 ,\quad 16.62 ,\quad 14.82 \end{align}
となるので,$Q(\bm{X})$は,
\begin{align} Q(&\bm{X}) \lnl &= \frac{(148-158.56)^2}{158.56} + \frac{(85-74.76)^2}{74.76} + \frac{(42-35.25)^2}{35.25} \\ &\quad+ \frac{(20-16.62)^2}{16.62} + \frac{(5-14.82)^2}{14.82}\lnl &\fallingdotseq 10.59 \end{align}
となる.(なおExcelで計算すると$Q(\bm{X}) = 10.599...$となる) $Q(\bm{X})$が従うカイ二乗分布の自由度は,攪乱母数の数が$1$つだから $5-1-1=3$である. 統計表より
\begin{align} &\chi^2_{3,0.025} = 9.3484\\ &\chi^2_{3,0.01} = 11.345 \end{align}
であるから,有意確率$p$は
\begin{align} 0.01 < p < 0.025 \end{align}
である.

尤度比検定

テキスト(7.5.2)より

\begin{align}
-2\log\lambda(\bm{X}) &= 2\Bigg(148 \log\frac{148}{158.56} + 85 \log\frac{85}{74.76} \lnl
&\quad + 42 \log\frac{42}{35.25} + 20 \log\frac{20}{16.62} + 5\log\frac{5}{14.82}\Bigg)\lnl
&= 12.68
\end{align}

が帰無仮説のもとで漸近的に自由度$5-1-1=3$のカイ二乗分布に従うことを用いる.
尤度比検定を用いた場合の有意確率$p$は,
\begin{align}
0.005 < p < 0.01 \end{align}
である.