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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex2.2.6

(a)
与えられた確率密度から明らかに $x \le -3$のとき$ F_X(x) = 0 $である。
$-3 < x < 3$のとき、

\begin{align} F_X(x) &= \int_{-3}^x f_X(t) \delt t \lnl &= \int_{-3}^x \frac{t^2}{18} \delt t \lnl &= \left[ \frac{t^3}{54}\right]_{-3}^x\lnl &= \frac{x^3}{54} + \frac{1}{2} \end{align}
$3 \le x$のとき、$ F_X(x) = 1$である。 以上をまとめると、
\begin{align} F_X(x) = \begin{cases} 0 &(x \le -3)\lnl \cfrac{x^3}{54}+\frac{1}{2}&(-3 < x < 3)\lnl 1 &(3 \le x)\end{cases} \end{align}
グラフは次のとおり、

curve(x^3/54 + 1/2, -3,3 , xlim=c(-4,4))
curve(0*x , -4 , -3,add=TRUE)
curve(1+0*x , 3 , 4,add=TRUE)

(b)
与えられた確率密度から明らかに$y \le 1$のとき$ F_Y(y) = 0$である。
$ 1 < y$のとき、

\begin{align} F_Y(y) &= \int_{1}^y f_Y(t) \delt t\lnl &= \int_{1}^y \frac{1}{t^2} \delt t\lnl &= \left[-\frac{1}{t}\right]_1^y\lnl &= 1 - \frac{1}{y} \end{align}
従って、
\begin{align} F_Y(y) = \begin{cases}0 & (y \le 1)\lnl 1-\cfrac{1}{y}& (1 < y)\end{cases} \end{align}
グラフは次のとおり、

curve(1-1/x,1,1000,xlim=c(-1,110),n=2000)
curve(0*x , -1,1,add=TRUE)