ex1.A.1 事象の確率に対するいろいろな計算

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex1.A.1

(a)

\begin{align} P(A\cup B) = P(A) + P(B) – P(A\cap B) = 0.7\end{align}

(b)
\begin{align}P(A^c) = 1- P(A) = 0.4\end{align}

(c)
\begin{align}P( (A\cap B)^c) = 1 – P(A\cap B) = 0.8\end{align}

(d)
\begin{align}P(A\cup B^c) = P(B^c) + P(A\cap B) = 0.9\end{align}

(e)
\begin{align}P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} = \frac{2}{3}\end{align}

(f)
\begin{align}P(A^c|B) = 1-P(A|B) = \frac{1}{3}\end{align}

(g)
\begin{align}P(A|A\cup B) = \frac{P(A\cap (A\cup B) )}{P(A\cup B)} = \frac{P(A)}{P(A\cup B)} = \frac{6}{7}\end{align}

(h)
\begin{align}P(A|A\cup B^c) = \frac{P(A\cap (A\cup B^c) ) }{P(A\cup B^c)} = \frac{P(A)}{P(A\cup B^c)} = \frac{2}{3}\end{align}

(i)
\begin{align}P(A\cap B|A) = \frac{P( (A \cap B )\cap A)}{P(A)} = \frac{1}{3}\end{align}

(j)
\begin{align}P(A\cap B) = 0.2 , P(A)P(B) = 0.18\end{align}

よって
\begin{align}P(A\cap B) \not = P(A)P(B)\end{align}

従って独立ではない。