はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex6.3.5
パラメータ$\lambda$のポアソン分布の確率関数は$x=0,1,\cdots$で
\begin{align}
f(x) = \frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}
\end{align}
f(x) = \frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}
\end{align}
となる.尤度関数は
\begin{align}
L(\lambda;\bm{x}) &= \prod_{i=1}^n\left(\frac{\lambda^{x_i}}{x_i!}e^{-\lambda} \right)\lnl
&= \frac{\lambda^{n\overline{x}}}{\displaystyle\sprod_{i=1}^n x_i!} e^{-n\lambda}
\end{align}
L(\lambda;\bm{x}) &= \prod_{i=1}^n\left(\frac{\lambda^{x_i}}{x_i!}e^{-\lambda} \right)\lnl
&= \frac{\lambda^{n\overline{x}}}{\displaystyle\sprod_{i=1}^n x_i!} e^{-n\lambda}
\end{align}
となる.
尤度方程式
\begin{align}
\frac{\partial}{\partial \lambda} \log L(\lambda;\bm{x}) = 0\label{eq-le5}
\end{align}
\frac{\partial}{\partial \lambda} \log L(\lambda;\bm{x}) = 0\label{eq-le5}
\end{align}
を解く.
\begin{align}
&\log L(\lambda;\bm{x}) = \log\lambda \cdot n\overline{x} -\sum_{i=1}^n \log\left(x_i!\right) – n\lambda\lnl
&\frac{\partial}{\partial \lambda}\log L(\lambda;\bm{x}) = \frac{n\overline{x}}{\lambda} – n
\end{align}
&\log L(\lambda;\bm{x}) = \log\lambda \cdot n\overline{x} -\sum_{i=1}^n \log\left(x_i!\right) – n\lambda\lnl
&\frac{\partial}{\partial \lambda}\log L(\lambda;\bm{x}) = \frac{n\overline{x}}{\lambda} – n
\end{align}
より$\eqref{eq-le5}$の解は
\begin{align}
\hat{\lambda} = \overline{x}
\end{align}
\hat{\lambda} = \overline{x}
\end{align}
となる.
$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\lambda & \cdots & \hat{\lambda} & \cdots \\
\hline
\frac{\partial}{\partial \lambda}\log L(\lambda;\bm{x}) & + & 0 & – \\
\hline
L(\lambda;\bm{x}) & \nearrow & \text{最大} & \searrow \\
\hline
\end{array} $
\hline
\lambda & \cdots & \hat{\lambda} & \cdots \\
\hline
\frac{\partial}{\partial \lambda}\log L(\lambda;\bm{x}) & + & 0 & – \\
\hline
L(\lambda;\bm{x}) & \nearrow & \text{最大} & \searrow \\
\hline
\end{array} $
以上より, $\lambda$のMLEは$\hat{\lambda} = \overline{X}$となる.