ex6.3.5 ポアソン分布の平均の最尤推定量(MLE)

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

[商品価格に関しましては、リンクが作成された時点と現時点で情報が変更されている場合がございます。]

入門・演習数理統計 [ 野田一雄 ]
価格:3780円(税込、送料無料) (2018/4/3時点)



間違い等発見されましたらご指摘ください。
他の解答はこちらから。
なお、問題文は(必要がない限り)掲載しておりません。テキストを横に置いてご覧ください。

また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。



スポンサーリンク


$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex6.3.5

パラメータ$\lambda$のポアソン分布の確率関数は$x=0,1,\cdots$で

\begin{align}
f(x) = \frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}
\end{align}

となる.尤度関数は
\begin{align}
L(\lambda;\bm{x}) &= \prod_{i=1}^n\left(\frac{\lambda^{x_i}}{x_i!}e^{-\lambda} \right)\lnl
&= \frac{\lambda^{n\overline{x}}}{\displaystyle\sprod_{i=1}^n x_i!} e^{-n\lambda}
\end{align}

となる.
尤度方程式
\begin{align}
\frac{\partial}{\partial \lambda} \log L(\lambda;\bm{x}) = 0\label{eq-le5}
\end{align}

を解く.
\begin{align}
&\log L(\lambda;\bm{x}) = \log\lambda \cdot n\overline{x} -\sum_{i=1}^n \log\left(x_i!\right) – n\lambda\lnl
&\frac{\partial}{\partial \lambda}\log L(\lambda;\bm{x}) = \frac{n\overline{x}}{\lambda} – n
\end{align}

より$\eqref{eq-le5}$の解は
\begin{align}
\hat{\lambda} = \overline{x}
\end{align}

となる.

$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\lambda & \cdots & \hat{\lambda} & \cdots \\
\hline
\frac{\partial}{\partial \lambda}\log L(\lambda;\bm{x}) & + & 0 & – \\
\hline
L(\lambda;\bm{x}) & \nearrow & \text{最大} & \searrow \\
\hline
\end{array} $

以上より, $\lambda$のMLEは$\hat{\lambda} = \overline{X}$となる.