ex4.A.1 標本から各種統計量を求める

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

[商品価格に関しましては、リンクが作成された時点と現時点で情報が変更されている場合がございます。]

入門・演習数理統計 [ 野田一雄 ]
価格:3780円(税込、送料無料) (2018/4/3時点)



間違い等発見されましたらご指摘ください。
他の解答はこちらから。
なお、問題文は(必要がない限り)掲載しておりません。テキストを横に置いてご覧ください。

また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。



スポンサーリンク


$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex4.A.1

(i)データを度数表にまとめると次の通り.なお, $i$:階級の連番 , $x_i$:階級値 , $f_i$:度数 , $\overline{x}$:標本平均 , $s^2$:標本分散 を表すものとする.

$
\begin{array}{|c||*{10}{c|}} \hline
i&1&2&3&4&5&6&7&8&\text{計}&\text{計/データ個数}\\ \hline
x_i&2&3&4&5&6&7&8&9&\text{—}&\text{—}\\ \hline
f_i&1&2&3&3&4&3&1&1&18&\text{※データ個数}\\ \hline
x_i f_i&2&6&12&15&24&21&8&9&97&\overline{x}=5.389\\ \hline
x_i-\overline{x}&-3.389&-2.389&-1.389&-0.389&0.611&1.611&2.611&3.611&\text{—}&\text{—}\\ \hline
(x_i-\overline{x})^2&11.4853&5.7073&1.9293&0.1513&0.3733&2.5953&6.8173&13.0393&\text{—}&\text{—}\\ \hline
(x_i-\overline{x})^2 f_i&11.4853&11.4146&5.7879&0.4539&1.4932&7.7859&6.8173&13.0393&58.2774&s^2=3.238\\ \hline
\end{array}
$

従って次のようになる.

\begin{align}
\begin{cases}
\text{(a)標本平均}\overline{x}= 5.389 \\
\text{(b)標本メジアン}= \cfrac{5+6}{2} = 5.5 \lnl
\text{(c)標本モード}= 6 \\
\text{(d)標本分散}s^2= 3.238 \\
\text{(e)標本標準偏差s} = 1.799\\
\text{(e)標本範囲} = 9-2 = 7
\end{cases}
\end{align}

(ii)データを度数表にまとめると次の通り.なお記号は(i)と同様.

$
\begin{array}{|c||*{9}{c|}} \hline
i&1&2&3&4&5&6&7&\text{計}&\text{計/データ個数}\\ \hline
x_i&2&3&4&5&8&10&15&\text{—}&\text{—}\\ \hline
f_i&1&3&4&5&1&1&1&16&\text{※データ個数}\\ \hline
x_i f_i&2&9&16&25&8&10&15&85&\overline{x}=5.313\\ \hline
x_i-\overline{x}&-3.313&-2.313&-1.313&-0.313&2.687&4.687&9.687&\text{—}&\text{—}\\ \hline
(x_i-\overline{x})^2&10.976&5.35&1.724&0.098&7.22&21.968&93.838&\text{—}&\text{—}\\ \hline
(x_i-\overline{x})^2 f_i&10.976&16.05&6.896&0.49&7.22&21.968&93.838&157.438&s^2=9.84\\ \hline
\end{array}
$

従って次のようになる.

\begin{align}
\begin{cases}
\text{(a)標本平均}\overline{x}= 5.313 \\
\text{(b)標本メジアン}= \cfrac{4+5}{2} = 4.5 \lnl
\text{(c)標本モード}= 5 \\
\text{(d)標本分散}s^2= 9.840 \\
\text{(e)標本標準偏差s} = 3.137\\
\text{(e)標本範囲} = 15-2 = 13
\end{cases}
\end{align}

(iii)データを度数表にまとめると次の通り.なお記号は(i)と同様.

$
\begin{array}{|c||*{8}{c|}} \hline
i&1&2&3&4&5&6&\text{計}&\text{計/データ個数}\\ \hline
x_i&0&1&2&3&4&76&\text{—}&\text{—}\\ \hline
f_i&8&5&3&2&1&1&20&\text{※データ個数}\\ \hline
x_i f_i&0&5&6&6&4&76&97&\overline{x}=4.85\\ \hline
x_i-\overline{x}&-4.85&-3.85&-2.85&-1.85&-0.85&71.15&\text{—}&\text{—}\\ \hline
(x_i-\overline{x})^2&23.5225&14.8225&8.1225&3.4225&0.7225&5062.3225&\text{—}&\text{—}\\ \hline
(x_i-\overline{x})^2 f_i&188.18&74.1125&24.3675&6.845&0.7225&5062.3225&5356.55&s^2=267.828\\ \hline
\end{array}
$

従って次のようになる.

\begin{align}
\begin{cases}
\text{(a)標本平均}\overline{x}= 4.850 \\
\text{(b)標本メジアン}= 1 \\
\text{(c)標本モード}= 0 \\
\text{(d)標本分散}s^2= 267.828 \\
\text{(e)標本標準偏差s} = 16.365\\
\text{(e)標本範囲} = 76-0 = 76
\end{cases}
\end{align}

(iv)データを度数表にまとめると次の通り.なお記号は(i)と同様.

$
\begin{array}{|c||*{8}{c|}} \hline
i&1&2&3&4&5&6&\text{計}&\text{計/データ個数}\\ \hline
x_i&0&1&2&10&11&12&\text{—}&\text{—}\\ \hline
f_i&7&3&1&1&2&5&19&\text{※データ個数}\\ \hline
x_i f_i&0&3&2&10&22&60&97&\overline{x}=5.105\\ \hline
x_i-\overline{x}&-5.105&-4.105&-3.105&4.895&5.895&6.895&\text{—}&\text{—}\\ \hline
(x_i-\overline{x})^2&26.061&16.851&9.641&23.961&34.751&47.541&\text{—}&\text{—}\\ \hline
(x_i-\overline{x})^2 f_i&182.427&50.553&9.641&23.961&69.502&237.705&573.789&s^2=30.199\\ \hline
\end{array}
$

従って次のようになる.

\begin{align}
\begin{cases}
\text{(a)標本平均}\overline{x}= 5.105 \\
\text{(b)標本メジアン}= 1 \\
\text{(c)標本モード}= 0 \\
\text{(d)標本分散}s^2= 30.199 \\
\text{(e)標本標準偏差s} = 5.495\\
\text{(e)標本範囲} = 12-0 = 12
\end{cases}
\end{align}