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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

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(a)
$x=1,2,3,4$の時の値を足すと$1$になることから、

\begin{align}
\sum_{x=1}^4 \frac{cx}{4} = \frac{c\cdot 1}{4} + \frac{c\cdot 2}{4} + \frac{c\cdot 3}{4} + \frac{c\cdot 4}{4} = 1
\end{align}

よって、

\begin{align}
c &= \frac{2}{5}
\end{align}

また、

\begin{align}
P(X > 2) &= \sum_{x=3 ,4} \frac{2}{5}\frac{x}{4} = \frac{7}{10}
\end{align}

(b)
全確率を足すと$1$になることから、

\begin{align}
\sum_{x=1}^\infty c\left(\frac{1}{4}\right)^{x-1} = 1
\end{align}

よって、

\begin{align}
c &= \frac{3}{4}
\end{align}

また、

\begin{align}
P(X > 2 ) &= 1-P(X=1) – P(X=2) \lnl
&=1 – \frac{3}{4} – \frac{3}{4}\frac{1}{4}\lnl
&=\frac{1}{16}
\end{align}