はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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間違い等発見されましたらご指摘ください。
他の解答はこちらから。
なお、問題文は(必要がない限り)掲載しておりません。テキストを横に置いてご覧ください。
また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex4.5.3
\begin{align}
&E((Y_n – c)^2) \\
&\quad = E\Big[\Big( (Y_n – E(Y_n)) + (E(Y_n) – c) \Big)^2\Big]\\
&\quad = E\Big[(Y_n – E(Y_n))^2\Big] +2\Big(\underline{E(Y_n) – E(Y_n)}\Big)\Big(E(Y_n) – c\Big) + \Big(E(Y_n) -c \Big)^2\\
&\quad = V(Y_n) + \Big(E(Y_n) -c \Big)^2
\end{align}
&E((Y_n – c)^2) \\
&\quad = E\Big[\Big( (Y_n – E(Y_n)) + (E(Y_n) – c) \Big)^2\Big]\\
&\quad = E\Big[(Y_n – E(Y_n))^2\Big] +2\Big(\underline{E(Y_n) – E(Y_n)}\Big)\Big(E(Y_n) – c\Big) + \Big(E(Y_n) -c \Big)^2\\
&\quad = V(Y_n) + \Big(E(Y_n) -c \Big)^2
\end{align}
最後の等号は下線部が$0$になることによる.
$V(Y_n) \ge 0 , \Big(E(Y_n)- c\Big)^2 \ge 0$であるので,$\displaystyle \lim_{n\to \infty}E((Y_n – c)^2) = 0$となるためには,
\begin{align}
\lim_{n\to \infty} V(Y_n) = 0 \\
\lim_{n\to \infty} E(Y_n) = c
\end{align}
\lim_{n\to \infty} V(Y_n) = 0 \\
\lim_{n\to \infty} E(Y_n) = c
\end{align}
両方を満たすことが必要である.