ex7.5.5 平均・分散推定が必要な正規分布への適合度検定

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

[商品価格に関しましては、リンクが作成された時点と現時点で情報が変更されている場合がございます。]

入門・演習数理統計 [ 野田一雄 ]
価格:3780円(税込、送料無料) (2018/4/3時点)



間違い等発見されましたらご指摘ください。
他の解答はこちらから。
なお、問題文は(必要がない限り)掲載しておりません。テキストを横に置いてご覧ください。

また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。



スポンサーリンク


$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex7.5.5

カイ二乗検定

テキスト(例7.5.2)と同様に考える.
表より平均$\mu$と標準偏差$s$を推定すると,

\begin{align}
\hat{\mu} &= \frac{4.5\cdot 11 + 7.5\cdot 23 + 10.5\cdot 41 + 13.5\cdot 35 + 16.5\cdot 21 + 19.5\cdot 19}{150}\lnl
&= 12.28\Lnl
\hat{s}^2 &=\frac{4.5^2\cdot 11 + 7.5^2\cdot 23 + 10.5^2\cdot 41 + 13.5^2\cdot 35 + 16.5^2\cdot 21 + 19.5^2\cdot 19}{150} – \hat{\mu}^2\lnl
&= 18.2516\Lnl
\hat{s} &\fallingdotseq 4.27
\end{align}

となる.

帰無仮説$H_0:X$が正規分布$\mathrm{N}(\hat{\mu},\hat{s}^2)$に従うに対して検定を行う.$H_0$の下,各区分の期待確率を求めると,

\begin{align}
&P(X \le 6) = P(Z \le -1.47) = 0.071\\
&P(6 < X \le 9) = P(-1.47 < Z \le -0.77) = 0.150\\ &P(9 < X \le 12) = P(-0.77 < Z \le -0.07) = 0.251\\ &P(12 < X \le 15) = P(-0.07 < Z \le 0.64) = 0.267\\ &P(15 < X \le 18) = P(0.64 < Z \le 1.34) = 0.171\\ &P(18 < X) = P(1.34 < Z ) = 0.090 \end{align}
となる.従って各区分の期待度数は,
\begin{align} 10.65 ,\quad 22.95 ,\quad 37.65 ,\quad 40.05 ,\quad 25.65 , \quad 13.5 \end{align}
となるので,$Q(\bm{X})$は,
\begin{align} Q(&\bm{X}) \lnl &= \frac{(11-10.65)^2}{10.65} + \frac{(23-22.95)^2}{22.95} + \frac{(41-37.65)^2}{37.65} \\ &\quad+ \frac{(35-40.05)^2}{40.05} + \frac{(21-25.65)^2}{25.65} + \frac{(19-13.5)^2}{13.5} \lnl &\fallingdotseq 4.04 \end{align}
となる.(なおExcelで計算すると$Q(\bm{X}) = 3.8937...$となる) $Q(\bm{X})$が従うカイ二乗分布の自由度は,攪乱母数の数が$2$つだから $6-1-1=3$である. 統計表より
\begin{align} &\chi^2_{3,0.3} = 3.6649\\ &\chi^2_{3,0.2} = 4.6416 \end{align}
であるから,有意確率$p$は
\begin{align} 0.2 < p < 0.3 \end{align}
である.

尤度比検定

テキスト(7.5.2)より

\begin{align}
-2\log\lambda(\bm{X}) &= 2\left(11 \log\frac{11}{10.65} + 23 \log\frac{23}{22.95} + 41 \log\frac{41}{37.65} + 35 \log\frac{35}{40.05} + 21\log\frac{21}{25.65} + 19\log\frac{19}{13.5}\right) \lnl
&= 3.86
\end{align}

が帰無仮説のもとで漸近的に自由度$6-1-2=3$のカイ二乗分布に従うことを用いる.
尤度比検定を用いた場合の有意確率$p$は,
\begin{align}
0.2 < p < 0.3 \end{align}
である.