はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex7.5.5
カイ二乗検定
テキスト(例7.5.2)と同様に考える.
表より平均$\mu$と標準偏差$s$を推定すると,
\begin{align}
\hat{\mu} &= \frac{4.5\cdot 11 + 7.5\cdot 23 + 10.5\cdot 41 + 13.5\cdot 35 + 16.5\cdot 21 + 19.5\cdot 19}{150}\lnl
&= 12.28\Lnl
\hat{s}^2 &=\frac{4.5^2\cdot 11 + 7.5^2\cdot 23 + 10.5^2\cdot 41 + 13.5^2\cdot 35 + 16.5^2\cdot 21 + 19.5^2\cdot 19}{150} – \hat{\mu}^2\lnl
&= 18.2516\Lnl
\hat{s} &\fallingdotseq 4.27
\end{align}
\hat{\mu} &= \frac{4.5\cdot 11 + 7.5\cdot 23 + 10.5\cdot 41 + 13.5\cdot 35 + 16.5\cdot 21 + 19.5\cdot 19}{150}\lnl
&= 12.28\Lnl
\hat{s}^2 &=\frac{4.5^2\cdot 11 + 7.5^2\cdot 23 + 10.5^2\cdot 41 + 13.5^2\cdot 35 + 16.5^2\cdot 21 + 19.5^2\cdot 19}{150} – \hat{\mu}^2\lnl
&= 18.2516\Lnl
\hat{s} &\fallingdotseq 4.27
\end{align}
となる.
帰無仮説$H_0:X$が正規分布$\mathrm{N}(\hat{\mu},\hat{s}^2)$に従うに対して検定を行う.$H_0$の下,各区分の期待確率を求めると,
\begin{align}
&P(X \le 6) = P(Z \le -1.47) = 0.071\\
&P(6 < X \le 9) = P(-1.47 < Z \le -0.77) = 0.150\\ &P(9 < X \le 12) = P(-0.77 < Z \le -0.07) = 0.251\\ &P(12 < X \le 15) = P(-0.07 < Z \le 0.64) = 0.267\\ &P(15 < X \le 18) = P(0.64 < Z \le 1.34) = 0.171\\ &P(18 < X) = P(1.34 < Z ) = 0.090 \end{align}
となる.従って各区分の期待度数は,
&P(X \le 6) = P(Z \le -1.47) = 0.071\\
&P(6 < X \le 9) = P(-1.47 < Z \le -0.77) = 0.150\\ &P(9 < X \le 12) = P(-0.77 < Z \le -0.07) = 0.251\\ &P(12 < X \le 15) = P(-0.07 < Z \le 0.64) = 0.267\\ &P(15 < X \le 18) = P(0.64 < Z \le 1.34) = 0.171\\ &P(18 < X) = P(1.34 < Z ) = 0.090 \end{align}
\begin{align}
10.65 ,\quad 22.95 ,\quad 37.65 ,\quad 40.05 ,\quad 25.65 , \quad 13.5
\end{align}
となるので,$Q(\bm{X})$は,
\begin{align}
Q(&\bm{X}) \lnl
&= \frac{(11-10.65)^2}{10.65} + \frac{(23-22.95)^2}{22.95} + \frac{(41-37.65)^2}{37.65} \\
&\quad+ \frac{(35-40.05)^2}{40.05} + \frac{(21-25.65)^2}{25.65} + \frac{(19-13.5)^2}{13.5} \lnl
&\fallingdotseq 4.04
\end{align}
となる.(なおExcelで計算すると$Q(\bm{X}) = 3.8937...$となる)
$Q(\bm{X})$が従うカイ二乗分布の自由度は,攪乱母数の数が$2$つだから $6-1-1=3$である. 統計表より
\begin{align}
&\chi^2_{3,0.3} = 3.6649\\
&\chi^2_{3,0.2} = 4.6416
\end{align}
であるから,有意確率$p$は
\begin{align}
0.2 < p < 0.3
\end{align}
である.
尤度比検定
テキスト(7.5.2)より
\begin{align}
-2\log\lambda(\bm{X}) &= 2\left(11 \log\frac{11}{10.65} + 23 \log\frac{23}{22.95} + 41 \log\frac{41}{37.65} + 35 \log\frac{35}{40.05} + 21\log\frac{21}{25.65} + 19\log\frac{19}{13.5}\right) \lnl
&= 3.86
\end{align}
-2\log\lambda(\bm{X}) &= 2\left(11 \log\frac{11}{10.65} + 23 \log\frac{23}{22.95} + 41 \log\frac{41}{37.65} + 35 \log\frac{35}{40.05} + 21\log\frac{21}{25.65} + 19\log\frac{19}{13.5}\right) \lnl
&= 3.86
\end{align}
が帰無仮説のもとで漸近的に自由度$6-1-2=3$のカイ二乗分布に従うことを用いる.
尤度比検定を用いた場合の有意確率$p$は,
\begin{align}
0.2 < p < 0.3 \end{align}
である.
0.2 < p < 0.3 \end{align}