目次
はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex1.1.1
標本空間を$\Omega$とする. 白抜き体で記述した集合（$\mathbb{N}$など）の凡例は最後につける.
(a)コインとサイコロを一つずつ投げ、それぞれの出た目を観察する
\begin{align}
\Omega &= \big\{ (\text{表},1), (\text{表},2), (\text{表},3), (\text{表},4), (\text{表},5), (\text{表},6),\\
&\qquad (\text{裏},1), (\text{裏},2), (\text{裏},3), (\text{裏},4), (\text{裏},5), (\text{裏},6) \big\}\lnl
&=\big\{ (A,B) ; A\in\{\text{表},\text{裏}\} , B\in \{1,2,3,4,5,6\}\big\}
\end{align}
\Omega &= \big\{ (\text{表},1), (\text{表},2), (\text{表},3), (\text{表},4), (\text{表},5), (\text{表},6),\\
&\qquad (\text{裏},1), (\text{裏},2), (\text{裏},3), (\text{裏},4), (\text{裏},5), (\text{裏},6) \big\}\lnl
&=\big\{ (A,B) ; A\in\{\text{表},\text{裏}\} , B\in \{1,2,3,4,5,6\}\big\}
\end{align}
(b)コインを4回続けて投げて,表の出た回数を記録する
\begin{align}
\Omega &= \big\{0 ,1 ,2 ,3 ,4\big\}
\end{align}
\Omega &= \big\{0 ,1 ,2 ,3 ,4\big\}
\end{align}
(c)コインを表が出るまで投げ続け, 投げた回数を数える
\begin{align}
\Omega &= \big\{ 1, 2, 3,\cdots \big\} = \mathbb{Z}^+
\end{align}
\Omega &= \big\{ 1, 2, 3,\cdots \big\} = \mathbb{Z}^+
\end{align}
(d)$8$個のリンゴ中$3$個が腐っているところから$2$個取り出して腐っているかどうか調べる
\begin{align}
\Omega &= \big\{ 0, 1, 2 \big\}
\end{align}
\Omega &= \big\{ 0, 1, 2 \big\}
\end{align}
(e)3つの定食A,B,Cがあるとき, 3人の学生が注文した定食を調べる
3人の学生をそれぞれX,Y,Zとし,
\begin{align}
\big(\text{Xが注文した定食}, \text{Yが注文した定食} , \text{Zが注文した定食} \big)
\end{align}
\big(\text{Xが注文した定食}, \text{Yが注文した定食} , \text{Zが注文した定食} \big)
\end{align}
と表すことにする.例えばXがA定食, YがB定食, ZがA定食を注文した場合は
\begin{align}
\big(\text{A}, \text{B} , \text{A} \big)
\end{align}
\big(\text{A}, \text{B} , \text{A} \big)
\end{align}
となる.このとき,
\begin{align}
\Omega &= \big\{ (\text{A}, \text{A}, \text{A}) , (\text{A}, \text{A}, \text{B}) , (\text{A}, \text{A}, \text{C}) , \\
&\qquad (\text{A}, \text{B}, \text{A}) , (\text{A}, \text{B}, \text{B}) , (\text{A}, \text{B}, \text{C}) , \\
&\qquad (\text{A}, \text{C}, \text{A}) , (\text{A}, \text{C}, \text{B}) , (\text{A}, \text{C}, \text{C}) , \\
&\qquad (\text{B}, \text{A}, \text{A}) , (\text{B}, \text{A}, \text{B}) , (\text{B}, \text{A}, \text{C}) , \\
&\qquad (\text{B}, \text{B}, \text{A}) , (\text{B}, \text{B}, \text{B}) , (\text{B}, \text{B}, \text{C}) , \\
&\qquad (\text{B}, \text{C}, \text{A}) , (\text{B}, \text{C}, \text{B}) , (\text{B}, \text{C}, \text{C}) , \\
&\qquad (\text{C}, \text{A}, \text{A}) , (\text{C}, \text{A}, \text{B}) , (\text{C}, \text{A}, \text{C}) , \\
&\qquad (\text{C}, \text{B}, \text{A}) , (\text{C}, \text{B}, \text{B}) , (\text{C}, \text{B}, \text{C}) , \\
&\qquad (\text{C}, \text{C}, \text{A}) , (\text{C}, \text{C}, \text{B}) , (\text{C}, \text{C}, \text{C}) \big\}\lnl
&= \big\{ (x,y,z) ; x,y,z\in \{A,B,C\} \big\}
\end{align}
\Omega &= \big\{ (\text{A}, \text{A}, \text{A}) , (\text{A}, \text{A}, \text{B}) , (\text{A}, \text{A}, \text{C}) , \\
&\qquad (\text{A}, \text{B}, \text{A}) , (\text{A}, \text{B}, \text{B}) , (\text{A}, \text{B}, \text{C}) , \\
&\qquad (\text{A}, \text{C}, \text{A}) , (\text{A}, \text{C}, \text{B}) , (\text{A}, \text{C}, \text{C}) , \\
&\qquad (\text{B}, \text{A}, \text{A}) , (\text{B}, \text{A}, \text{B}) , (\text{B}, \text{A}, \text{C}) , \\
&\qquad (\text{B}, \text{B}, \text{A}) , (\text{B}, \text{B}, \text{B}) , (\text{B}, \text{B}, \text{C}) , \\
&\qquad (\text{B}, \text{C}, \text{A}) , (\text{B}, \text{C}, \text{B}) , (\text{B}, \text{C}, \text{C}) , \\
&\qquad (\text{C}, \text{A}, \text{A}) , (\text{C}, \text{A}, \text{B}) , (\text{C}, \text{A}, \text{C}) , \\
&\qquad (\text{C}, \text{B}, \text{A}) , (\text{C}, \text{B}, \text{B}) , (\text{C}, \text{B}, \text{C}) , \\
&\qquad (\text{C}, \text{C}, \text{A}) , (\text{C}, \text{C}, \text{B}) , (\text{C}, \text{C}, \text{C}) \big\}\lnl
&= \big\{ (x,y,z) ; x,y,z\in \{A,B,C\} \big\}
\end{align}
(f)不良品の個数を調べる
\begin{align}
\Omega &= \big\{0 ,1 ,2 ,3 ,4, \cdots \big\} = \mathbb{N}
\end{align}
\Omega &= \big\{0 ,1 ,2 ,3 ,4, \cdots \big\} = \mathbb{N}
\end{align}
(g)2個の電池の寿命を計る
\begin{align}
\Omega &= \big\{ (x,y) ; x,y \in {\mathbb{R}^+}_0 \big\} = \left({\mathbb{R}^+}_0\right)^2
\end{align}
\Omega &= \big\{ (x,y) ; x,y \in {\mathbb{R}^+}_0 \big\} = \left({\mathbb{R}^+}_0\right)^2
\end{align}
(h)窓口があくまでの時間を計る
\begin{align}
\Omega &= \big\{ x ; 0 \le x < \infty \big\} = {\mathbb{R}^+}_0 \end{align}
\Omega &= \big\{ x ; 0 \le x < \infty \big\} = {\mathbb{R}^+}_0 \end{align}
(i)ダイエット前後の体重差を調べる
ダイエット前の体重を$w_1$ , ダイエット後の体重を$w_2$とすると,
\begin{align}
\Omega &= \big\{ w_2 – w_1 ; 0 \le w_1,w_2 < \infty \big\} = \mathbb{R} \end{align}
※差という言葉通りにとれば絶対値をつけるのがよいのだと思いますが, この場合は増えたか減ったかを含めて調べることが想定されるため絶対値をつけていません.
\Omega &= \big\{ w_2 – w_1 ; 0 \le w_1,w_2 < \infty \big\} = \mathbb{R} \end{align}
(j)弓を射ったときの着的と中心の距離を測る
\begin{align}
\Omega &= \big\{ x; 0 \le x < \infty \big\} = {\mathbb{R}^+}_0 \end{align}
\Omega &= \big\{ x; 0 \le x < \infty \big\} = {\mathbb{R}^+}_0 \end{align}
白抜き体の集合
ここでは各記号を記載の意味で用いた. 解答に用いていない記号も比較のため記載してある.
\begin{align}
&\mathbb{Z} = \{ 0,\pm 1, \pm 2 ,\cdots \} &\text{整数全体}\\
&\mathbb{Z}^+ = \{ 1 , 2 , 3, \cdots \} &\text{正の整数全体}\\
&\mathbb{Z}^- = \{ -1 , -2 , -3, \cdots \} &\text{負の整数全体}\\
&\mathbb{N} = {\mathbb{Z}^+}_0 = \{ 0,1,2, \cdots \} &\text{自然数;}0\text{と正の整数全体}\\
&{\mathbb{Z}^-}_0 = \{ 0,-1, -2 ,\cdots \} &0\text{と負の整数全体}\lnl
&\mathbb{R}= \{ x ; -\infty < x < \infty \} &\text{実数全体}\\ &\mathbb{R}^+= \{ x ; 0 < x < \infty \} &\text{正の実数全体}\\ &\mathbb{R}^-= \{ x ; -\infty < x < 0 \} &\text{負の実数全体}\\ &{\mathbb{R}^+}_0= \{ x ; 0 \le x < \infty \} &0\text{と正の実数全体}\\ &{\mathbb{R}^-}_0= \{ x ; -\infty < x \le 0 \} &0\text{と負の実数全体} \end{align}
&\mathbb{Z} = \{ 0,\pm 1, \pm 2 ,\cdots \} &\text{整数全体}\\
&\mathbb{Z}^+ = \{ 1 , 2 , 3, \cdots \} &\text{正の整数全体}\\
&\mathbb{Z}^- = \{ -1 , -2 , -3, \cdots \} &\text{負の整数全体}\\
&\mathbb{N} = {\mathbb{Z}^+}_0 = \{ 0,1,2, \cdots \} &\text{自然数;}0\text{と正の整数全体}\\
&{\mathbb{Z}^-}_0 = \{ 0,-1, -2 ,\cdots \} &0\text{と負の整数全体}\lnl
&\mathbb{R}= \{ x ; -\infty < x < \infty \} &\text{実数全体}\\ &\mathbb{R}^+= \{ x ; 0 < x < \infty \} &\text{正の実数全体}\\ &\mathbb{R}^-= \{ x ; -\infty < x < 0 \} &\text{負の実数全体}\\ &{\mathbb{R}^+}_0= \{ x ; 0 \le x < \infty \} &0\text{と正の実数全体}\\ &{\mathbb{R}^-}_0= \{ x ; -\infty < x \le 0 \} &0\text{と負の実数全体} \end{align}