ex6.A.5 復元抽出による池の魚の総数の最尤推定値

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex6.A.5

復元抽出の場合,確率関数は,

\begin{align}
f(k;N) = \binom{n}{k} \left(\frac{r}{N}\right)^k \left(1-\frac{r}{N}\right)^{n-k}
\end{align}

である.ここで$r,k,n$は既知なので,
\begin{align}
L(N) = f(k;N) = \binom{n}{k} \left(\frac{r}{N}\right)^k \left(1-\frac{r}{N}\right)^{n-k}
\end{align}

とおく. $L(N)$が最大となる$N$の値が最尤推定値である.

$x$を$r<x$である正の実数として,

\begin{align}
l(x) = \left(\frac{r}{x}\right)^k \left(1-\frac{r}{x}\right)^{n-k}
\end{align}

とおく.$l$を最大にする$x$を求める.
\begin{align}
l'(x) = \frac{r}{x^2}\left(\frac{r}{x}\right)^{k-1}\left(1-\frac{r}{x}\right)^{n-k-1} \underline{\left(\frac{nr}{x}-k\right)}
\end{align}

である.$0 < r < x$より下線部以外の符号は正である.下線部の符号を調べると$l(x)$を最大化する$x$は
\begin{align}
x = \frac{nr}{k}
\end{align}

であることがわかる.

$\displaystyle \frac{nr}{k}$が整数のときを考える.
上記より$L(N)$を最大化する$N$は,$N = \cfrac{nr}{k}$であるので題意が示された.

$\displaystyle \frac{nr}{k}$が整数ではないときを考える. $\displaystyle \left\lfloor \frac{nr}{k} \right\rfloor$を$\displaystyle \frac{nr}{k}$を超えない最大の整数とする.

$l(x)$の定義域を整数範囲に絞ったとき , $x < \cfrac{nr}{k}$では単調増加 , $x > \cfrac{nr}{k}$では単調減少であるため, $l(x)$を最大化する$x$は$\displaystyle \left\lfloor \frac{nr}{k} \right\rfloor$または$\displaystyle \left\lfloor \frac{nr}{k} \right\rfloor+1$となる.

従って$L(N)$を最大化する$N$は$\displaystyle \left\lfloor \frac{nr}{k} \right\rfloor$または$\displaystyle \left\lfloor \frac{nr}{k} \right\rfloor+1$となる.

※問題文では$\displaystyle \left\lfloor \frac{nr}{k} \right\rfloor$であることを示せとなっていますが, それは示せません.次のような反例を作ることができます.

最尤推定値が$\displaystyle \left\lfloor \frac{nr}{k} \right\rfloor$とはならない反例

$n=149, r = 91 , k=30$のとき,$\displaystyle \left\lfloor \frac{nr}{k} \right\rfloor = 451 $となる.$\hat{N} = 451$とする.

\begin{align}
\frac{L(\hat{N})}{L(\hat{N}+1)} < 1
\end{align}

を示す.
\begin{align}
\frac{L(\hat{N})}{L(\hat{N}+1)} = \left(\frac{452}{451}\right)^{149}\left(\frac{451-91}{452-91}\right)^{149-30}
\end{align}

である.これをRを使って計算すると,$0.9999139$である.従って,$\displaystyle \left\lfloor \frac{nr}{k} \right\rfloor +1$のほうが$L$を大きくすることがわかる.