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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex2.7.7

$X$と$Y$の相関係数が$0$であることを示す。
与えられた表から、$E(X),E(Y),E(XY)$を計算する。

\begin{align}
E(X) &= 2\\
E(Y) &= 1\\
E(XY) &= 2
\end{align}

以上から、共分散を計算すると、

\begin{align}
\mathrm{Cov}(X,Y) &= E(XY) – E(X)E(Y)\\
&= 2 – 2\cdot 1\\
&= 0
\end{align}

共分散が$0$であるので、相関係数も$0$である。

$X$と$Y$が独立ではないことを示す。
与えられた表から、

\begin{align}
f_{XY}(2,1) &= P(X=2,Y=1) = 0\lnl
f_{X}(2) &=P(X=2) = \frac{1}{2}\lnl
f_{Y}(1) &=P(Y=1) = \frac{1}{2}
\end{align}

であるから、明らかに$f_{XY} \ne f_X f_Y$となり、独立ではない。