ex3.12.1

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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他の解答はこちらから。
なお、問題文は(必要がない限り)掲載しておりません。テキストを横に置いてご覧ください。

また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。



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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex3.12.1

$Z$を標準正規分布に従う確率変数とする。
また、数値はテキスト巻末の正規分布表(T.1)を利用している。

(i)

(3.12.4)より、$X\sim N(\mu_X = 10 ,\sigma_X^2 = 16)$となるから、

\begin{align}
P(5 < X \le 12) &= P\left( \frac{5-10}{\sqrt{16}} < Z \le \frac{12-10}{\sqrt{16}}\right)\lnl &= P(-1.25 < Z \ge 0.5)\lnl &=P(Z \le 0.5) - P( Z \le -1.25)\lnl &=P(Z \le 0.5) - (1 - P (Z \le 1.25))\lnl &=0.691462 - 0.10565\lnl &=0.585812 \end{align}

(ii)

$Y=3$が与えられたときの$X$の条件付き確率は、(3.12.5)より平均$\mu_{X’}=\mu_X+\rho\left(\frac{\sigma_X}{\sigma_Y}\right)(y- \mu_Y)$,分散$\sigma_{X’}^2 =(1-\rho^2)\sigma_X^2$の正規分布に従う。
具体的な値を計算すると、

\begin{align}
\mu_{X’} &= \frac{158}{15} \fallingdotseq 10.53\\
\sigma_{X’}^2 &= 13.44\\
\therefore \sigma_{X’} &= \sqrt{13.44} \fallingdotseq 3.67
\end{align}

従って、
\begin{align}
P(5 < X \le 12|Y=3) &= P\left(\frac{5-10.53}{3.67} < Z \le \frac{12-10.53}{3.67}\right)\\ &\fallingdotseq P(-1.51 < Z \le 0.4)\\ &\fallingdotseq 5.899 \end{align}

(iii)

(i)と同様に、$Y \sim N(2,3^2)$となるので、

\begin{align}
P(4 < Y < 8) &= P\left(\frac{4-2}{3} < Z < \frac{8-2}{3}\right)\\ &\fallingdotseq P(0.67 < Z <2)\\ &\fallingdotseq 0.228679 \end{align}

(iv)

(ii)と同様に、$X=8$が与えられたときの$Y$の条件付き確率は、(3.12.5)より平均$\mu_{Y’}=\mu_Y+\rho\left(\cfrac{\sigma_Y}{\sigma_X}\right)(x- \mu_X)$,分散$\sigma_{Y’}^2 =(1-\rho^2)\sigma_{Y}^2$の正規分布に従う。
具体的な値を計算すると、

\begin{align}
\mu_{Y’} &= 1.4\\
\sigma_{Y’}^2 &= 7.56\\
\therefore \sigma_{Y’} &= \sqrt{7.56} \fallingdotseq 2.75
\end{align}

従って、
\begin{align}
P(4 < Y <8 |X=8) &= P\left(\frac{4-1.4}{2.75} < Z < \frac{8-1.4}{2.75}\right)\\ &\fallingdotseq P(0.95 < Z < 2.4)\\ &\fallingdotseq 0.162858 \end{align}

(v)

条件付き確率の定義から、

\begin{align}
P(4 < Y < 8| Y > 0) &= \frac{P(Y>0 , 4 < Y < 8)}{P(Y>0)} = \frac{P(4 < Y < 8)}{P(Y > 0)}
\end{align}

ここで、
\begin{align}
P(Y>0) &= P\left(Z > -\frac{2}{3}\right)\\
&\fallingdotseq 0.754627
\end{align}

従って、(iii)の結果を用いると、
\begin{align}
\frac{P(4 < Y < 8)}{P(Y > 0)} &= \frac{0.228679}{0.754627} \fallingdotseq 0.303
\end{align}

Rによる計算

例によって数値がテキストの解答とずれまくりですが誤差の丸め精度や線形補間など一切やっていないからだと思います。
一応、Rで計算した結果を載せておきます

> # 3.12.1
> #(i) 
> mu = 10
> sigma = 4
> pnorm((12-mu)/sigma) - pnorm((5-mu)/sigma)
[1] 0.5858127
> 
> #(ii)
> mu = 158/15
> sigma = sqrt(13.44)
> pnorm((12-mu)/sigma) - pnorm((5-mu)/sigma)
[1] 0.5898402
> 
> #(iii)
> mu = 2
> sigma = 3
> pnorm((8-mu)/sigma) - pnorm((4-mu)/sigma)
[1] 0.2297424
> 
> #(iv)
> mu = 1.4
> sigma = sqrt(7.56)
> pnorm((8-mu)/sigma) - pnorm((4-mu)/sigma)
[1] 0.1639849
> 
> #(v) p1 = P(4<Y<8) , p2 = P(Y>0) , solve p1/p2
> mu = 2
> sigma = 3
> p1 = pnorm((8-mu)/sigma) - pnorm((4-mu)/sigma)
> p2 = 1-pnorm((0-mu)/sigma)
> p1
[1] 0.2297424
> p2
[1] 0.7475075
> p1/p2
[1] 0.3073446