ex7.4.11 二つの独立した母集団比率の差に関する両側検定

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex7.4.11

検定

$p_1$を真の男性の喫煙率, $p_2$を真の女性の喫煙率とする.帰無仮説$H_0:p_1 = p_2 $ ,対立仮説$H_1:p_1 \ne p_2$の水準$\alpha=0.05$の仮説検定を行う.
テキスト(7.4.8)(c)より

\begin{align}
Z_0 = \left| \frac{\hat{p}_1 – \hat{p}_2}{\hat{p}(1-\hat{p})\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{m}\right)} \right| > z_\frac{\alpha}{2}
\end{align}

であれば帰無仮説を棄却する.ただし$\hat{p}_1=0.63$は男性の標本平均, $\hat{p}_2=0.58$は女性の標本平均であり, $n=200, m=150$は男性・女性の標本数である.また,$\hat{p}$は
\begin{align}
\hat{p}= \frac{\displaystyle \ssum_{i=1}^n X_i + \ssum_{i=1}^m Y_i}{n+m} = \frac{0.63\times 200 + 0.58\times 150}{200+150} \fallingdotseq 0.609
\end{align}

である.
\begin{align}
Z_0 = \left| \frac{0.63 – 0.58}{0.609(1-0.609)\left(\frac{1}{200}+\frac{1}{150}\right)} \right| \fallingdotseq 0.95
\end{align}

である.また統計表から
\begin{align}
z_{\frac{0.05}{2}} = 1.96
\end{align}

であるので,$Z_0 < z_{\frac{0.05}{2}}$が成り立ち,帰無仮説$H_0$は棄却できない.

有意確率

$Z$を標準正規分布に従う確率変数とする.
有意確率$p’$は

\begin{align}
p’ = 2P(Z > Z_0) =2(1-0.828944) \fallingdotseq 0.342
\end{align}

である.