ex4.4.5 正規分布の標本分散とF分布の関係

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex4.4.5

テキスト(3.9.5)より,

\begin{align}
\frac{m}{{\sigma_1}^2}{S_X}^2 \sim \chi^2(m-1) \lnl
\frac{n}{{\sigma_2}^2}{S_Y}^2 \sim \chi^2(n-1)
\end{align}

である.従って,自由度$k$の$\chi^2$分布に従う確率変数を$\chi^2(k)$と表すと,
\begin{align}
\frac{m{\sigma_2}^2{S_X}^2}{m-1} \Big/ \frac{n{\sigma_1}^2{S_Y}^2}{n-1} &= \left(\frac{m}{{\sigma_1}^2}{S_X}^2\right) \Big/ \left(\frac{n}{{\sigma_2}^2}{S_Y}^2\right) \times \frac{n-1}{m-1}\lnl
&= \cfrac{\left(\cfrac{\chi^2(m-1)}{m-1}\right)}{\left(\cfrac{\chi^2(n-1)}{n-1}\right)}
\end{align}

これは自由度$m-1 , n-1$の$F$分布に従う($F$分布の定義そのもの).