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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

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$i=1,2$で$ m_X^{(i)}(t) $を計算する。

\begin{align}
m_X^{(1)}(t) &= 3(1-t)^{-4}\\
m_X^{(2)}(t) &= 3\cdot 4(1-t)^{-5}\\
\end{align}

上記より、

\begin{align}
m_X^{(i)}(t) = \frac{(i+2)!}{2} (1-t)^{-(i+3)}
\end{align}

と予想できる。これを数学的帰納法で示す。
$i= 1,2$の場合はすでに見た通り成立。
$i = k$のとき成立すると仮定する、すなわち、

\begin{align}
m_X^{(k)}(t) = \frac{(k+2)!}{2} (1-t)^{-(k+3)}
\end{align}

$i = k + 1$のとき、

\begin{align}
m_X^{(k+1)}(t) &= \left(m_X^{(k)}(t) \right)’\\
&=\left(\frac{(k+2)!}{2} (1-t)^{-(k+3)}\right)’\\
&= \frac{(k+2)!}{2} \{-(k+3)\}(-1) (1-t)^{-(k+4)}\\
&= \frac{(k+3)!}{2} (1-t)^{-(k+4)}
\end{align}

よって、$i = k+1$のときも成立するので示された。
従って、 $ k \ge 2 $のとき

\begin{align}
E(X^{k-2}) = m_X^{(k-2)}(0) = \frac{k!}{2}
\end{align}