はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex2.5.6
(a)
\begin{align}
E(X) &= \int_2^{\infty} x\cdot \frac{8}{x^3} \delt x = 4\lnl
E\left(X^2\right) &= \int_2^{\infty} x^2 \cdot \frac{8}{x^3} \delt x = \Big[8 \log x\Big]_2^\infty = \infty\lnl
V(X) &= E\left(X^2\right) – E(X)^2 = \infty
\end{align}
E(X) &= \int_2^{\infty} x\cdot \frac{8}{x^3} \delt x = 4\lnl
E\left(X^2\right) &= \int_2^{\infty} x^2 \cdot \frac{8}{x^3} \delt x = \Big[8 \log x\Big]_2^\infty = \infty\lnl
V(X) &= E\left(X^2\right) – E(X)^2 = \infty
\end{align}
$X$の分布のメジアンを$m$とすると、
\begin{align}
\frac{1}{2} = \int_2^m \frac{8}{x^3} \delt x = 1 – \frac{4}{m^2}
\end{align}
\frac{1}{2} = \int_2^m \frac{8}{x^3} \delt x = 1 – \frac{4}{m^2}
\end{align}
を満たすから、$ m = \sqrt{8} $である。($ \because m > 2 $)
(b)
\begin{align}
P(Y = -1) &= P(X < 3) = \int_2^{3} \frac{8}{x^3 } \delt x = \frac{5}{9}\lnl P(Y= 3) &= P(X \ge 3) = 1 - P(X < 3)= \frac{4}{9} \end{align}
となるので、
P(Y = -1) &= P(X < 3) = \int_2^{3} \frac{8}{x^3 } \delt x = \frac{5}{9}\lnl P(Y= 3) &= P(X \ge 3) = 1 - P(X < 3)= \frac{4}{9} \end{align}
\begin{align}
E(Y) &= -1 \times P(Y= -1) + 3 \times P(Y=3) \lnl
&= \frac{7}{9}\Lnl
E\left(Y^2\right) &= (-1)^2 \times P(Y= -1) + 3^2 \times P(Y=3) \lnl
&= \frac{41}{9}\Lnl
V(Y) &= E\left(Y^2\right) - E(Y) ^2 \lnl
&= \frac{320}{81}
\end{align}