はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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なお、問題文は(必要がない限り)掲載しておりません。テキストを横に置いてご覧ください。
また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex2.5.3
(a)期待値の線形性や、(2.5.12)などを用いて、
\begin{align}
E(-2X+3) &= -2E(X) + 3 \\
&= 9\lnl
V(-X + 2) &= (-1)^2V(X) \\
&= 25\lnl
E(X^2) &= V(X) + E(X)^2 \\
&= 34\lnl
E(-2X^2) &= -2E(X^2) \\
&= -68
\end{align}
E(-2X+3) &= -2E(X) + 3 \\
&= 9\lnl
V(-X + 2) &= (-1)^2V(X) \\
&= 25\lnl
E(X^2) &= V(X) + E(X)^2 \\
&= 34\lnl
E(-2X^2) &= -2E(X^2) \\
&= -68
\end{align}
(b)期待値の線形性、(例2.5.8)などを用いる。
また、$X,Y$が独立であること、および$3X$と$-2Y$が独立であることを用いる。
\begin{align}
E(X-Y) &= E(X) – E(Y) \\
&= -7\lnl
V(X-Y) &= V(X) + (-1)^2V(Y) \\
&= 41\Lnl
E(3X-2Y+1) &= 3E(X) – 2E(Y) + 1 \\
&= -16\lnl
V(3X-2Y+1) &= 3^2V(X) + (-2)^2V(Y) \\
&= 289
\end{align}
E(X-Y) &= E(X) – E(Y) \\
&= -7\lnl
V(X-Y) &= V(X) + (-1)^2V(Y) \\
&= 41\Lnl
E(3X-2Y+1) &= 3E(X) – 2E(Y) + 1 \\
&= -16\lnl
V(3X-2Y+1) &= 3^2V(X) + (-2)^2V(Y) \\
&= 289
\end{align}
(c)
$X,Y$が独立であること、および$X^2$と$Y^2$も独立であることを用いる。
\begin{align}
E(XY) &= E(X)E(Y) \\
&= -12 \lnl
E(X^2Y^2) &= E(X^2)E(Y^2) \\
&= (V(X) + E(X)^2)(V(Y) + V(Y)^2) \\
&= 1088\lnl
E(-2XY+6)&= -2E(XY) + 6 \\
&= 30
\end{align}
E(XY) &= E(X)E(Y) \\
&= -12 \lnl
E(X^2Y^2) &= E(X^2)E(Y^2) \\
&= (V(X) + E(X)^2)(V(Y) + V(Y)^2) \\
&= 1088\lnl
E(-2XY+6)&= -2E(XY) + 6 \\
&= 30
\end{align}