ex1.5.5 ベイズの定理による事前確率の導出

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex1.5.5

(a)
$X$:5軒中3軒がA新聞をとっている事象
$A$:A町を選ぶ事象、B,Cも同様

\begin{align}
P(X|A) &= \binom{5}{3}(0.6)^3(0.4)^2\\
P(X|B) &= \binom{5}{3}(0.5)^3(0.5)^2\\
P(X|C) &= \binom{5}{3}(0.3)^3(0.7)^2
\end{align}

よって

\begin{align}
P(X) &=P(A)P(X|A) + P(B)P(X|B) + P(C)P(X|C) \\
&= \frac{10}{3}\left[(0.6)^3(0.4)^2 + (0.5)^5 + (0.3)^3(0.7)^2\right]
\end{align}

(b)

\begin{align}P(A|X) = \frac{P(X|A)P(A)}{P(X)} = 0.44\end{align}