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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex2.7.1

(i)

上図のとおり行列を足し合わせて、$X$と$Y$の周辺確率がわかるため、これを用いて期待値を求める。

\begin{align}
E(X) &= 0 \times 0.4 + 2 \times 0.6 = 1.2\\
E(Y) &= -1\times 0.5 + 0\times 0.3 + 1 \times 0.2 = -0.3
\end{align}

E(XY)は、$X$と$Y$いずれかが$0$であるものは、計算結果に影響しないため省くことができる。(下図のグレー部分)

\begin{align}
E(XY) = 2\times (-1) \times 0.3 + 2\times 1 \times 0.1 = -0.4
\end{align}

(ii)
共分散$\mathrm{Cov}(X,Y)$は(2.7.2)より、

\begin{align}
\mathrm{Cov}(X,Y) &= E(XY) – E(X) E(Y)\\
&=-0.4 – (1.2)(-0.3)\\
&=-0.04
\end{align}

相関係数を求める前に、$X$と$Y$の分散を求める。

\begin{align}
E(X^2) &= 0^2 \cdot 0.4 + 2^2 \cdot 0.6 = 2.4\\
V(X) &= E(X^2) – E(X)^2= 0.96\Lnl
E(Y^2) &= (-1)^2\cdot 0.5 + 0^2 \cdot 0.3 + 1^2 \cdot 0.2 = 0.7\\
V(Y) &= E(Y^2) – E(Y)^2 = 0.61
\end{align}

従って、相関係数は、

\begin{align}
\rho (X,Y) &= \frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{V(X)} \sqrt{V(Y)}} \fallingdotseq -0.05
\end{align}