はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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なお、問題文は(必要がない限り)掲載しておりません。テキストを横に置いてご覧ください。
また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex3.4.5
負の二項分布の再生性より、$X+Y$は$r=2 ,p$の負の二項分布に従う、
\begin{align}
&P(X=x|X+Y=t) \lnl
&\quad= \frac{P(X=x,X+Y=t)}{P(X+Y=t)}\lnl
&\quad=\frac{P(X=x)P(Y=t-x)}{P(X+Y=t)}\lnl
&\quad=\frac{p(1-p)^x p(1-p)^{t-x}}{\binom{t+1}{1}p^2(1-p)^t}\lnl
&\quad=\frac{1}{t+1}
\end{align}
&P(X=x|X+Y=t) \lnl
&\quad= \frac{P(X=x,X+Y=t)}{P(X+Y=t)}\lnl
&\quad=\frac{P(X=x)P(Y=t-x)}{P(X+Y=t)}\lnl
&\quad=\frac{p(1-p)^x p(1-p)^{t-x}}{\binom{t+1}{1}p^2(1-p)^t}\lnl
&\quad=\frac{1}{t+1}
\end{align}
よって示された。