はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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なお、問題文は(必要がない限り)掲載しておりません。テキストを横に置いてご覧ください。
また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex2.A.3
\begin{align}
M_x(t) &= E(e^{tX})\lnl
&=\sum_{x=1}^\infty e^{tx} \cdot \frac{6}{(\pi x)^2} \lnl
&= \sum_{x=1}^\infty \frac{6}{\pi^2}\cdot \frac{e^{tx}}{x^2}
\end{align}
M_x(t) &= E(e^{tX})\lnl
&=\sum_{x=1}^\infty e^{tx} \cdot \frac{6}{(\pi x)^2} \lnl
&= \sum_{x=1}^\infty \frac{6}{\pi^2}\cdot \frac{e^{tx}}{x^2}
\end{align}
$ t > 0 $のとき、$ M_x(t) = \infty $
よって、積率母関数は$0$の周りで存在しない。