はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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なお、問題文は(必要がない限り)掲載しておりません。テキストを横に置いてご覧ください。
また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex2.4.6
$X$の確率密度関数は、
\begin{align}
f_X(x) = \begin{cases}\cfrac{1}{\pi} & (-\pi / 2 < x < \pi / 2)\lnl 0&(\text{other})\end{cases} \end{align}
である。
f_X(x) = \begin{cases}\cfrac{1}{\pi} & (-\pi / 2 < x < \pi / 2)\lnl 0&(\text{other})\end{cases} \end{align}
\begin{align}
Y = \tan X \Leftrightarrow X = \arctan Y
\end{align}
$\arctan Y$は$-\infty < y < \infty$で狭義単調増加なので、(2.4.3)より、
\begin{align}
f_Y(y) &= f_X(\arctan y)\times \left | \frac{d }{dy}\arctan y \right|\lnl
&= \frac{1}{\pi} \times \frac{1}{(1+y^2) }
\end{align}