はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex2.A.6
$ f(x) = 1 ( 0 < x < 1 ) $、その他の時$0$であるから、
\begin{align}
M_X(t) &= \int_0^1 e^{tx} \delt x = \cfrac{e^t - 1}{t}
\end{align}
これは、$t=0$のとき定義されないが、
\begin{align}
\lim_{t\rightarrow 0} \cfrac{e^t -1}{t} = \lim_{t\rightarrow 0} \cfrac{\cfrac{\delt}{\delt t}(e^t -1)}{\cfrac{\delt}{\delt t}t} = 1
\end{align}
(ロピタルの定理を用いた)
従って、$M_X(0)=1$とすれば$t=0$の周りで積率母関数は存在する。
\begin{align}
M_X'(t) = \cfrac{(t-1)e^t + 1}{t^2}
\end{align}
M_X'(t) = \cfrac{(t-1)e^t + 1}{t^2}
\end{align}
これは$t=0$で定義されないので極限をとる。ロピタルの定理を用いて、
\begin{align}
\lim_{t\rightarrow 0} M_X'(t) &=\lim_{t\rightarrow 0} \cfrac{(t-1)e^t + 1}{t^2}\lnl
&= \lim_{t\rightarrow 0} \cfrac{\cfrac{\delt^2}{\delt t^2}((t-1)e^t +1)}{\cfrac{\delt^2}{\delt t^2}t^2} \lnl
&= \cfrac{1}{2}
\end{align}
\lim_{t\rightarrow 0} M_X'(t) &=\lim_{t\rightarrow 0} \cfrac{(t-1)e^t + 1}{t^2}\lnl
&= \lim_{t\rightarrow 0} \cfrac{\cfrac{\delt^2}{\delt t^2}((t-1)e^t +1)}{\cfrac{\delt^2}{\delt t^2}t^2} \lnl
&= \cfrac{1}{2}
\end{align}
よって、期待値は$ \cfrac{1}{2} $。
\begin{align}
M_X”(t) = \cfrac{t^2e^t – 2t e^t + 2e^t -2}{t^3}
\end{align}
M_X”(t) = \cfrac{t^2e^t – 2t e^t + 2e^t -2}{t^3}
\end{align}
これも$t=0$では定義されないので、同様にロピタルの定理を用いて、
\begin{align}
\lim_{t\rightarrow 0} M_X”(t) &=\lim_{t\rightarrow 0} \cfrac{t^2e^t – 3t e^t + 3e^t -3}{t^3} \lnl
&= \lim_{t\rightarrow 0}\cfrac{\cfrac{\delt^3}{\delt t^3} (t^2e^t – 2t e^t + 2e^t -2)}{\cfrac{\delt^3}{\delt t^3}t^3} \lnl
&=\cfrac{1}{3}
\end{align}
\lim_{t\rightarrow 0} M_X”(t) &=\lim_{t\rightarrow 0} \cfrac{t^2e^t – 3t e^t + 3e^t -3}{t^3} \lnl
&= \lim_{t\rightarrow 0}\cfrac{\cfrac{\delt^3}{\delt t^3} (t^2e^t – 2t e^t + 2e^t -2)}{\cfrac{\delt^3}{\delt t^3}t^3} \lnl
&=\cfrac{1}{3}
\end{align}
よって、
\begin{align}
V(X) = E(X^2) -E(X)^2 = \cfrac{1}{3} – \left(\cfrac{1}{2}\right)^2 = \cfrac{1}{12}
\end{align}
V(X) = E(X^2) -E(X)^2 = \cfrac{1}{3} – \left(\cfrac{1}{2}\right)^2 = \cfrac{1}{12}
\end{align}