ex4.5.2 標本分散が母集団の分散に確率収束することの証明

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex4.5.2

母集団の平均を$\mu$とすると,簡単な計算により,

\begin{align}
S^2 &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i – \overline{X})^2 \lnl
&= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i – \mu)^2 – (\overline{X}- \mu)^2 \label{eq-s2}
\end{align}

となる.ここで,
\begin{align}
{S_0}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i – \mu)^2
\end{align}

とおき$\eqref{eq-s2}$の両辺から$\sigma^2$を引くと,
\begin{align}
S^2 – \sigma^2 = ({S_0}^2 – \sigma^2) – (\overline{X}- \mu)^2
\end{align}

となる.
$\epsilon$を正定数として,
\begin{align}
\left|{S_0}^2 – \sigma^2 \right| < \epsilon \quad \text{かつ} \quad \left|\overline{X} - \mu \right|< \sqrt{\epsilon} \end{align}
とおくと,
\begin{align} \left|S^2 - \sigma^2\right| < \epsilon \end{align}
となる.従って,
\begin{align} P\left(\left|S^2 - \sigma^2\right| < \epsilon\right) &\ge P\left(\left|{S_0}^2 - \sigma^2 \right| < \epsilon \right)P\left(\left|\overline{X} - \mu \right|< \sqrt{\epsilon}\right)\lnl &\ge \left(1 - \frac{V({S_0}^2)}{\epsilon^2}\right)\left(1 - \frac{V(\overline{X})}{\epsilon^2}\right)\lnl &= \left(1 - \frac{2\sigma^4}{n\epsilon^2}\right)\left(1 - \frac{\sigma^2}{n\epsilon^2}\right)\lnl &\to 1\qquad (n\to \infty) \end{align}
よって示された.

補足

一応, $E({S_0}^2) = \sigma^2 , V({S_0}^2)= \cfrac{2\sigma^4}{n}$を示しておきます.
テキスト(4.4.3)より,

\begin{align}
\frac{n{S_0}^2}{\sigma^2} = \sum_{i=1}^n \frac{(X_i – \mu)^2 }{\sigma^2}
\end{align}

は自由度$n$の$\chi^2$分布に従うので,その期待値は$n$であり分散は$2n$となる.
\begin{align}
&E\left(\frac{n{S_0}^2}{\sigma^2}\right) = n \lnl
&\Rightarrow \frac{n}{\sigma^2} E({S_0}^2) = n \lnl
&\Rightarrow E({S_0}^2) = \sigma^2 \Lnl
&V\left(\frac{n{S_0}^2}{\sigma^2}\right) = 2n \lnl
&\Rightarrow \frac{n^2}{\sigma^4} V({S_0}^2) = 2n \lnl
&\Rightarrow V({S_0}^2) = \frac{2\sigma^4}{n}
\end{align}

別解

なんとなく気持ち悪いのですが,テキストの解答はこういう意図でしょう.
(ex4.5.1の解答であるかのように書いてありますが,内容からすると本問の解答のようです)

(ex4.5.1)から

\begin{align}
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n {X_i}^2 \xrightarrow{P}E(X^2)
\end{align}

また,$\overline{X} \xrightarrow{P} \mu$から,
\begin{align}
{\overline{X}}^2 \xrightarrow{P} \mu^2 = E(X)^2
\end{align}

である.一方,(ex4.2.1)より,
\begin{align}
S^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n {X_i}^2 – \overline{X}^2 \xrightarrow{P} E(X^2) – E(X)^2 = \sigma^2
\end{align}

となるので示された.