ex6.A.4 非復元抽出による池の魚の総数の最尤推定値

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex6.A.4

魚の総数を$N$とする.再度魚を捕まえた時の印のついた魚の数を表す確率変数を$X$とすると,$X$は超幾何分布に従うので, その確率関数は

\begin{align}
P(X= k) = \cfrac{\displaystyle \binom{r}{k} \binom{N-r}{n-k}}{\displaystyle \binom{N}{n}}
\end{align}

となる.ここで$r,k,n$は既知なので,
\begin{align}
L(N) = f(k;N) = \cfrac{\displaystyle \binom{r}{k} \binom{N-r}{n-k}}{\displaystyle \binom{N}{n}}
\end{align}

とおく. $L(N)$が最大となる$N$の値が最尤推定値である.

\begin{align}
\frac{L(N)}{L(N+1)} &= \frac{(N+1)(N-r+1-n+k)}{(N+1-n)(N+1-r)}
\end{align}

である.$\cfrac{L(N)}{L(N+1)} < 1$を$N$について解くと,
\begin{align}
&(N+1)(N-r+1-n+k) < (N+1-n)(N+1-r)\\
\Longleftrightarrow & kN + k < nr\\
\Longleftrightarrow & \frac{nr}{k} -1 < N \end{align}
となる.同様に,
\begin{align} &\frac{L(N)}{L(N+1)} > 1 \Longleftrightarrow \frac{nr}{k}-1 > N \lnl
&\frac{L(N)}{L(N+1)} = 1 \Longleftrightarrow \frac{nr}{k}-1= N
\end{align}

である.

$\displaystyle \frac{nr}{k}$が整数ではないときを考える. $\displaystyle \left\lfloor \frac{nr}{k} \right\rfloor$を$\displaystyle \frac{nr}{k}$を超えない最大の整数とすると,

\begin{align}
L(1) < L(2) <\cdots < L\left(\left\lfloor \frac{nr}{k} \right\rfloor -1 \right)< L\left(\left\lfloor \frac{nr}{k} \right\rfloor \right) > L\left(\left\lfloor \frac{nr}{k} \right\rfloor +1 \right) > \cdots
\end{align}

が成り立つので題意が示された.

次に$\displaystyle \frac{nr}{k}$が整数のときを考える.

\begin{align}
L(1) < L(2) <\cdots < L\left(\frac{nr}{k} -1 \right) = L\left( \frac{nr}{k} \right) > L\left( \frac{nr}{k} +1 \right) > \cdots
\end{align}

が成り立つので題意が示された.