ex7.2.8 正規分布の平均の片側検定に対するUMP検定

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex7.2.8

平均$\mu$, 分散$4$の正規分布の密度関数は,

\begin{align}
f(x;\mu) &= \frac{1}{\sqrt{8\pi }}\exp\left(-\frac{x^2}{8}\right)
\end{align}

である. $\mu_2 > \mu_1$とすると,
\begin{align}
\frac{\displaystyle \prod_{i=1}^{36} f(x_i ; \mu_2)}{\displaystyle \prod_{i=1}^{36} f(x_i;\mu_1)} = \exp\left\{-\frac{1}{8}\sum_{i=1}^{36}\Big(-2x_i(\mu_2-\mu_1) + ({\mu_2}^2 – {\mu_1}^2)\Big)\right\}
\end{align}

これは, $\displaystyle T(\bm{x}) = \sum_{i=1}^{36} x_i$に関して単調尤度比をもつ.

よって, 水準$\alpha=0.05$のUMP検定は, 次のような検定関数$\varphi$を持つ検定である.

\begin{align}
\varphi(\bm{X}) = \begin{cases}
1&\displaystyle\sum_{i=1}^{36} {x_i} > k\lnl
0&\displaystyle\sum_{i=1}^{36} {x_i} \le k
\end{cases}
\end{align}

ただし, $k$は次を満たす.
$T(\bm{X}) \sim \mathrm{N}(36 \times 55 , 36\times 4)$であるので, $Z \sim \mathrm{N}(0,1)$とすると,
\begin{align}
&P(T(\bm{X})) > k) = 0.05\lnl
& \Longleftrightarrow P\left(Z > \frac{k-36\times 55}{\sqrt{36\times 4}} \right) = 0.05 \lnl
& \Longleftarrow z_{0.05} = \frac{k-36\times 55}{\sqrt{36\times 4}} \lnl
& \Longleftrightarrow k = 1.64 \times \sqrt{36\times 4} + 36\times 55 \fallingdotseq 1999.68
\end{align}

なお, $\cfrac{1999.68}{36} \fallingdotseq 55.55$より, 棄却域を$\overline{X} > 55.55$とするのと同値である.

検出力関数は,

\begin{align}
\beta(\mu) &= P(T(\bm{X}) > 1999.68)\lnl
&=P\left(Z> \frac{1999.68 – 36\mu}{\sqrt{36\times 4}}\right)\lnl
&=P(Z > 166.64 – 3\mu)\lnl
&= 1 – \Phi\left(\frac{55.55 – \mu}{1/3} \right)
\end{align}

となる.

また, $\overline{X} = 56 , 58 , 60 , 62$いずれの場合でも棄却域であるため$H_0$は棄却となる.