ex1.A.3 3つの事象の確率に関するいろいろな計算

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex1.A.3

(a)

\begin{align} P(A\cup B) = P(A) + P(B) – P(A\cap B) = 0.65\end{align}

(b)

\begin{align}
&P(A\cup B \cup C) \\
&\quad= P(A) + P(B) + P(C) – P(A\cap B) \\
&\qquad- P(B\cap C) – P(C\cap A) + P(A\cap B \cap C) \\
&\quad= 0.7
\end{align}

(c)

\begin{align}P\{(A\cup B \cup C)^c \} = 1- P(A\cup B \cup C) = 0.7\end{align}

(d)
\begin{align} P(A\cup (B \cap C) ) = P(A) + P(B\cap C) – P(A\cap B \cap C) = 0.5\end{align}

(e)

\begin{align}
P(A (A\cup B) \cap C) &= P( (A\cap C) \cup (B \cap C) ) \\
&= P(A\cap C) + P(B \cap C) – P(A\cap B \cap C) \\
&= 0.4
\end{align}

(f)

\begin{align}P(A| A\cup B \cup C) = \frac{P(A \cap (A\cup B \cup C) )}{P(A\cup B \cup C)} = \frac{3}{7}\end{align}

(g)
$P(A\cap C) = 0.2 , P(A)P(C) = 0.135$であるから、
\begin{align}P(A\cap C) \ne P(A)P(C)\end{align}

従って$A,B,C$は独立ではない。