ex5.2.2 二変量正規分布の結合十分統計量

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex5.2.2

\begin{align}
&T_1 = \sum_{i=1}^n X_i && T_2 = \sum_{i=1}^n Y_i\lnl
&T_2 = \sum_{i=1}^n {X_i}^2 && T_4 = \sum_{i=1}^n {Y_i}^2\lnl
&T_5 = \sum_{i=1}^n X_i Y_i
\end{align}

とし, それぞれの実現値を$t_1 , t_2 , t_3 , t_4 , t_5$とする.

パラメータ$\mu_1, \mu_2 , {\sigma_1}^2 , {\sigma_2}^2 , \rho$の二変量正規分布の結合確率密度関数$f(x,y)$は,

\begin{align}
f(x,y) = \frac{1}{2\pi\sigma_1 \sigma_2 (1-\rho^2)^\frac{1}{2}}\exp\left\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}Q(x,y) \right\}
\end{align}

となる.ただし,
\begin{align}
Q(x,y) = \frac{(x-\mu_1)^2}{{\sigma_1}^2} – 2\rho \frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1 \sigma_2} + \frac{(y-\mu_2)^2}{{\sigma_2}^2}
\end{align}

である.従って,$((X_1,Y_1) , (X_2,Y_2) , \cdots ,(X_n,Y_n) )$の同時確率密度関数$f_n(\bm{x},\bm{y})$は,
\begin{align}
f_n(\bm{x},\bm{y}) &= \left(\frac{1}{2\pi\sigma_1 \sigma_2 (1-\rho^2)^\frac{1}{2}}\right)^n \exp\left\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\sum_{i=1}^n Q(x_i,y_i) \right\}
\end{align}

となり,
\begin{align}
\sum_{i=1}^n Q(x_i,y_i) &= \frac{1}{{\sigma_1}^2}\left(\sum_{i=1}^n {x_i}^2 – 2\mu_1 \sum_{i=1}^n x_i + n {\mu_1}^2 \right) \lnl
&\quad – \frac{2\rho}{\sigma_1 \sigma_2}\left(\sum_{i=1}^n x_i y_i – \mu_2 \sum_{i=1}^n x_i – \mu_1 \sum_{i=1}^n y_i + n\mu_1\mu_2\right)\lnl
&\quad + \frac{1}{{\sigma_2}^2}\left(\sum_{i=1}^n {y_i}^2 – 2\mu_2\sum_{i=1}^n y_i + n {\mu_2}^2 \right)\Lnl
&= \left(\frac{-2\mu_1}{{\sigma_1}^2}+\frac{2\rho \mu_2}{\sigma_1\sigma_2}\right) t_1 + \left(\frac{-2\mu_2}{{\sigma_2}^2}+\frac{2\rho \mu_1}{\sigma_1\sigma_2}\right) t_2 + \frac{t_3}{{\sigma_1}^2} + \frac{t_4}{{\sigma_2}^2} \lnl
&\quad + \left(\frac{-2\rho}{\sigma_1 \sigma_2}\right)t_5 + \frac{n{\mu_1}^2}{{\sigma_1}^2} – \frac{n\rho \mu_1 \mu_2}{\sigma_1 \sigma_2} + \frac{n{\mu_2}^2}{{\sigma_2}^2}
\end{align}

因子分解定理より$(T_1, T_2, T_3, T_4, T_5)$は$\mu_1, \mu_2 , {\sigma_1}^2 , {\sigma_2}^2 , \rho$の結合十分統計量である.