はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex6.2.6
ベルヌーイ分布は1パラメータの指数分布族である.
$S(\bm{X})=\displaystyle \sum_{i=0}^nX_i$は完備十分統計量となる.
従ってレーマン・シェフェの定理より$T(\bm{X})$が$\cfrac{p}{1-p}$の不偏推定量であれば,$E\big[T(\bm{X})|S(\bm{X})\big]$はUMVUEとなる.
UMVUEが存在しないことを示すためには,$E\big(T(\bm{X})\big)=\cfrac{p}{1-p}$となる不偏推定量$T(\bm{X})$が存在しないことを示せばよい.
\begin{align}
E\big(T(\bm{X})\big) = \sum_{x_1=0}^1 \cdots \sum_{x_n=0}^1 T(x_1,\cdots,x_n) p^{x_1+\cdots+x_n}(1-p)^{n-(x_1+\cdots+x_n)}
\end{align}
E\big(T(\bm{X})\big) = \sum_{x_1=0}^1 \cdots \sum_{x_n=0}^1 T(x_1,\cdots,x_n) p^{x_1+\cdots+x_n}(1-p)^{n-(x_1+\cdots+x_n)}
\end{align}
$T(\bm{x})$は$p$に依存しない関数であるため,$E\big(T(\bm{X})\big)$は$p$の多項式である.これが$\cfrac{p}{1-p}$になることはないため,$\cfrac{p}{1-p}$の不偏推定量は存在しない.従ってUMVUEも存在しない.