ex6.5.14 独立な正規母集団の平均の差の信頼区間(小標本)

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex6.5.14

方法Aで手術した患者の数を$n$ , 平均回復時間を$\overline{X}$, (標本)標準偏差を $S_X$とする.同様に, 方法Bで手術した患者の数を$m$ , 平均回復時間を$\overline{Y}$, (標本)標準偏差を $S_Y$とする.
題意より,

\begin{align}
&n = 16 ,\quad \overline{X}= 62 ,\quad S_X = 8\\
&m = 25 ,\quad \overline{Y}= 50 ,\quad S_Y = 11
\end{align}

である.

また, 標本不偏分散${U_X}^2, {U_Y}^2$は,

\begin{align}
&{U_X}^2 = \frac{n}{n-1}\cdot {S_X}^2 = \frac{16}{15}64 \fallingdotseq 68.27\lnl
&{U_Y}^2 = \frac{m}{m-1}\cdot {S_Y}^2 = \frac{25}{24}121 \fallingdotseq 126.04
\end{align}

となる.

テキスト(6.5.8)(iii)より,平均の差の$100(1-\alpha)$%信頼区間は,

\begin{align}
\left[ \overline{X}- \overline{Y} – t_{v,\frac{\alpha}{2}} \sqrt{\frac{{U_X}^2}{n} + \frac{{U_Y}^2}{m}} , \overline{X}- \overline{Y} + t_{v,\frac{\alpha}{2}} \sqrt{\frac{{U_X}^2}{n} + \frac{{U_Y}^2}{m}}\right] \label{eq-ex6-5-14}
\end{align}

である.ただし,
\begin{align}
v = \frac{ \left( \cfrac{{U_X}^2}{n} + \cfrac{{U_Y}^2}{m} \right)^2 }{ \cfrac{{U_X}^4}{n^2(n-1)} + \cfrac{{U_Y}^4}{m^2(m-1)} }
\end{align}

である.各値を代入して$v$を求めると,
\begin{align}
v \fallingdotseq 38
\end{align}

である.巻末の(T.2)に自由度$38$の数値がないため, 補正して求める.$t$分布の補間は自由度の逆数による補間法だから ,
\begin{align}
t_{v,\frac{\alpha}{2}} &= t_{38,0.025} \lnl
&= t_{40,0.025} – (t_{40,0.025} – t_{35,0.025})\frac{1/40 – 1/38}{1/40 – 1/35}\lnl
&= 2.024
\end{align}

となる.(T.2)から$t_{35,0.025} = 2.030 ,t_{40,0.025} = 2.021 $を用いた.また,
\begin{align}
\sqrt{\frac{{U_X}^2}{n} + \frac{{U_Y}^2}{m}} = \sqrt{\frac{68.27}{16} + \frac{126.04}{25}} \fallingdotseq 3.051
\end{align}

である.
従って,$\eqref{eq-ex6-5-14}$の下限と上限は,
\begin{align}
&\overline{X}- \overline{Y} – t_{v,\frac{\alpha}{2}} \sqrt{\frac{{U_X}^2}{n} + \frac{{U_Y}^2}{m}} = 62-50-2.024\cdot 3.051 \fallingdotseq 5.82\lnl
&\overline{X}- \overline{Y} + t_{v,\frac{\alpha}{2}} \sqrt{\frac{{U_X}^2}{n} + \frac{{U_Y}^2}{m}} = 62-50+2.024\cdot 3.051 \fallingdotseq 18.18
\end{align}

となるので,求める信頼区間は
\begin{align}
[5.82 , 18.18]
\end{align}

である.

※テキストの解答にある$[5.41 , 18.59]$に一致しませんが, 何度計算しても上記のようになります…