ex5.3.1 いろいろな分布が1パラメータの指数型分布族であることの証明

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex5.3.1

集合$A$に対して, $I_{A}(x)$を,

\begin{align}
I_A(x) = \begin{cases} 1 & x \in A\\ 0 & x \not\in A\end{cases}
\end{align}

で定義する.
また,
\begin{align}
&\mathbb{N} = \{n; n=0,1,2,\cdots\}\\
&\mathbb{N}(a,b) = \{n; n\in \mathbb{N} , a \le n \le b \}\\
&\mathbb{R} = \{r ; r\text{は実数}\}\\
&\mathbb{R}(a,b) = \{r ; r \in \mathbb{R}, a < r < b\}\\ &\mathbb{R}^{+} = \{r ; r\in \mathbb{R}, r > 0\}
\end{align}

と定義する.

それぞれの確率(密度)関数$f(x;\theta)$が,

\begin{align}
f(x;\theta ) = h(x)\exp\big(c(\theta)\cdot T(x) + d(\theta)\big)
\end{align}

となるように$h(x) , c(\theta) ,T(X) , d(\theta)$を定められればよい.

(i)幾何分布(パラメータ$p$:未知)

確率関数は,

\begin{align}
f(x;p) = p(1-p)^x \cdot I_\mathbb{N}
\end{align}

となる.変形して,
\begin{align}
f(x;p) = I_\mathbb{N}\cdot \exp\big((\log(1-p))\cdot x + \log p\big)
\end{align}

となる.
\begin{align}
h(x) = I_\mathbb{N}, \quad c(p) = \log(1-p) , \quad T(x) = x ,\quad d(p)=\log p
\end{align}

とすればよいから, $1$パラメータの指数型分布族となる.

(ii)負の二項分布(パラメータ$r$:既知 ,$p$:未知)

確率関数は,

\begin{align}
f(x;p) = \binom{r+x-1}{x} p^r(1-p)^x\cdot I_\mathbb{N}
\end{align}

となる.変形して,
\begin{align}
f(x;p) = \binom{r+x-1}{x} I_\mathbb{N}\cdot \exp\big((\log(1-p))\cdot x + r\log p\big)
\end{align}

となる.
\begin{align}
h(x) = \binom{r+x-1}{x}I_\mathbb{N}, \quad c(p) = \log(1-p) , \quad T(x) = x ,\quad d(p)=r\log p
\end{align}

とすればよいから, $1$パラメータの指数型分布族となる.

(iii)ポアソン分布(パラメータ$\lambda$:未知)

確率関数は,

\begin{align}
f(x;\lambda) = \frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda} \cdot I_\mathbb{N}
\end{align}

となる.変形して,
\begin{align}
f(x;p) = \frac{1}{x!} I_\mathbb{N}\cdot \exp\big((\log \lambda) \cdot x -\lambda\big)
\end{align}

となる.
\begin{align}
h(x) = \frac{1}{x!}I_\mathbb{N}, \quad c(\lambda) = \log \lambda , \quad T(x) = x ,\quad d(\lambda)=-\lambda
\end{align}

とすればよいから, $1$パラメータの指数型分布族となる.

(iv)正規分布(パラメータ$\mu$:既知 ,$\sigma^2$:未知)

確率密度関数は,

\begin{align}
f(x;\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)
\end{align}

となる.変形して,
\begin{align}
f(x;\sigma^2) = \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} -\frac{1}{2}\log(2\pi\sigma^2) \right)
\end{align}

となる.
\begin{align}
&h(x) = 1, && c(\sigma^2) = \frac{-1}{2\sigma^2} , \\
&T(x) = (x-\mu)^2 ,&& d(\sigma^2)=\frac{-1}{2}\log(2\pi\sigma^2)
\end{align}

とすればよいから, $1$パラメータの指数型分布族となる.

(v)正規分布(パラメータ$\mu$:未知 ,$\sigma^2$:既知)

確率密度関数は,

\begin{align}
f(x;\mu) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)
\end{align}

となる.変形して,
\begin{align}
f(x;\mu) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right)\exp\left(\frac{\mu}{\sigma^2}x -\frac{\mu^2}{2\sigma^2} \right)
\end{align}

となる.
\begin{align}
&h(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right), && c(\mu) = \frac{\mu}{\sigma^2} ,\\
&T(x) = x ,&& d(\mu)=-\frac{\mu^2}{2\sigma^2}
\end{align}

とすればよいから, $1$パラメータの指数型分布族となる.

(vi)ガンマ分布(パラメータ$\alpha$:既知 ,$\beta$:未知)

確率密度関数は,

\begin{align}
f(x;\beta) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}\cdot I_{\mathbb{R}^+}(x)
\end{align}

となる.変形して,
\begin{align}
f(x;\beta) = \frac{x^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)} I_{\mathbb{R}^+}(x) \exp\left(-\beta x + \alpha \log\beta\right)
\end{align}

となる.
\begin{align}
&h(x) = \frac{x^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)} I_{\mathbb{R}^+}(x), && c(\beta) = -\beta ,\\
&T(x) = x ,&& d(\beta)=\alpha\log\beta
\end{align}

とすればよいから, $1$パラメータの指数型分布族となる.

(vii)ガンマ分布(パラメータ$\alpha$:未知 ,$\beta$:既知)

確率密度関数は,

\begin{align}
f(x;\alpha) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}\cdot I_{\mathbb{R}^+}(x)
\end{align}

となる.変形して,
\begin{align}
f(x;\alpha) = e^{-\beta x} I_{\mathbb{R}^+}(x) \exp\big((\alpha-1)\log x + \alpha \log\beta – \log\Gamma(\alpha) \big)
\end{align}

となる.
\begin{align}
&h(x) = e^{-\beta x} I_{\mathbb{R}^+}(x), && c(\alpha) = \alpha-1 ,\\
&T(x) = \log x ,&& d(\alpha)= \alpha \log\beta – \log\Gamma(\alpha)
\end{align}

とすればよいから, $1$パラメータの指数型分布族となる.

(viii)ベータ分布(パラメータ$\alpha$:既知 ,$\beta$:未知)

確率密度関数は,

\begin{align}
f(x;\beta) = \frac{1}{B(\alpha,\beta)}x^{\alpha-1} (1-x)^{\beta-1} \cdot I_{\mathbb{R}(0,1)}(x)
\end{align}

となる.変形して,
\begin{align}
f(x;\beta) = x^{\alpha-1}I_{\mathbb{R}(0,1)}(x) \exp\big( (\beta-1)\log(1-x) – \log B(\alpha,\beta) \big)
\end{align}

となる.
\begin{align}
&h(x) = x^{\alpha-1}I_{\mathbb{R}(0,1)}(x), && c(\beta) = \beta-1, \\
&T(x) = \log(1-x) ,&& d(\beta)=- \log B(\alpha,\beta)
\end{align}

とすればよいから, $1$パラメータの指数型分布族となる.

(ix)ベータ分布(パラメータ$\alpha$:未知 ,$\beta$:既知)

確率密度関数は,

\begin{align}
f(x;\alpha) = \frac{1}{B(\alpha,\beta)}x^{\alpha-1} (1-x)^{\beta-1} \cdot I_{\mathbb{R}(0,1)}(x)
\end{align}

となる.変形して,
\begin{align}
f(x;\alpha) = (1-x)^{\beta-1}I_{\mathbb{R}(0,1)}(x) \exp\big( (\alpha-1)\log x – \log B(\alpha,\beta) \big)
\end{align}

となる.
\begin{align}
&h(x) = (1-x)^{\beta-1}I_{\mathbb{R}(0,1)}(x), && c(\alpha) = \alpha-1 ,\\
&T(x) = \log x ,&& d(\alpha)=- \log B(\alpha,\beta)
\end{align}

とすればよいから, $1$パラメータの指数型分布族となる.