ex1.2.7 具体的区間を与えられた場合のポアソン分布の確率

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex1.2.7

この確率関数を持つ分布をポアソン分布といいます。後の章で詳しく出てきます。
(a)$B^c = \{x;x < 3\}$であるため、

\begin{align} P(B) &= 1 - P(B^c)\\ &= 1 - \sum_{k=0}^{2} \frac{e^{-2}2^k}{k!}\\ &= 1 - 5e^{-2} \end{align}
(b)
\begin{align} P(C) = \frac{e^{-2}2^2}{2!} = 2e^{-2}\end{align}
(c)
\begin{align} P(B\cup C) &= 1 - \sum_{k=0}^{1} \frac{e^{-2}2^k}{k!}\\ &= 1-3e^{-2} \end{align}
(d) $B\cap C^c = B $であるので、
\begin{align} P(B\cap C^c) = 1-5e^{-2}\end{align}
(e) $B\cap C = \phi$であるので、
\begin{align} P(B\cap C) = 0\end{align}