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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex3.7.1

(1) $ \alpha=1 $のとき、$ f(x) = \beta e^{-\beta x} $だから、

\begin{align}
f'(x) &= -\beta^2 e^{-\beta x}
\end{align}

これは、$ x > 0 $ で常に負の数となる。
従って、$ f $は単調減少であり、モードは存在しない。

(2) $ \alpha>1 $のとき、$ f(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma( \alpha)} x^{\alpha – 1} e^{-\beta x} $だから、

\begin{align}
f'(x) &= \frac{\beta^\alpha}{\Gamma( \alpha) } (\alpha – 1 – \beta x) x^{\alpha-2}e^{-\beta x}
\end{align}

$ x > 0 $ で $ f'(x) = 0 $を解いて、$ x = \cfrac{\alpha – 1}{\beta} $。

\begin{array}{|c|*4{c|}} \hline
x& 0 & \cdots & \frac{\alpha-1}{\beta} & \cdots\\ \hline
f’&-&+&0&-\\ \hline
f & – & \nearrow & \text{Max} & \searrow \\ \hline
\end{array}

従って、モードは$ \alpha > 1 , x = \cfrac{\alpha – 1}{\beta} $となる。

※問題では$ \alpha \ge 1 $と$ \alpha=1 $を含むようになっていますが、
上記のように$ \alpha=1 $の場合はモード無しです。