はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex2.8.1
(1)$E(Y|X=1)$
\begin{align}
E(Y|X=1) &= \frac{\sum_{y} y\cdot P(Y=y , X=1)}{P(X=1)}\lnl
&= \frac{(-1)\cdot P(Y=-1 ,X=1) + 0 \cdot P(Y=0,X=1)}{P(X=1)}\lnl
&\qquad + \frac{1\cdot P(Y=1,X=1)}{P(X=1)}\lnl
&= \frac{-0.2 + 0.1}{0.4}\lnl
&= -\frac{1}{4}
\end{align}
E(Y|X=1) &= \frac{\sum_{y} y\cdot P(Y=y , X=1)}{P(X=1)}\lnl
&= \frac{(-1)\cdot P(Y=-1 ,X=1) + 0 \cdot P(Y=0,X=1)}{P(X=1)}\lnl
&\qquad + \frac{1\cdot P(Y=1,X=1)}{P(X=1)}\lnl
&= \frac{-0.2 + 0.1}{0.4}\lnl
&= -\frac{1}{4}
\end{align}
(2)$V(Y|X=1)$
\begin{align}
E(Y^2|X=1) &= \frac{\sum_{y} y^2\cdot P(Y=y , X=1)}{P(X=1)}\lnl
&= \frac{(-1)^2\cdot P(Y=-1 ,X=1) + 0^2 \cdot P(Y=0,X=1)}{P(X=1)} \lnl
&\qquad + \frac{1^2\cdot P(Y=1,X=1)}{P(X=1)}\lnl
&= \frac{0.2 + 0.1}{0.4}\lnl
&= \frac{3}{4}\Lnl
V(Y|X=1) &= E(Y^2|X=1) – E(Y|X=1)^2\lnl
&= \frac{11}{16}
\end{align}
E(Y^2|X=1) &= \frac{\sum_{y} y^2\cdot P(Y=y , X=1)}{P(X=1)}\lnl
&= \frac{(-1)^2\cdot P(Y=-1 ,X=1) + 0^2 \cdot P(Y=0,X=1)}{P(X=1)} \lnl
&\qquad + \frac{1^2\cdot P(Y=1,X=1)}{P(X=1)}\lnl
&= \frac{0.2 + 0.1}{0.4}\lnl
&= \frac{3}{4}\Lnl
V(Y|X=1) &= E(Y^2|X=1) – E(Y|X=1)^2\lnl
&= \frac{11}{16}
\end{align}
(3)$E(X|Y=0)$
\begin{align}
E(X|Y=0) &= \frac{\sum_{x} x\cdot P(X=x , Y=0)}{P(Y=0)}\lnl
&= \frac{1 \cdot P(X=1 ,Y=0) + 3 \cdot P(X=3 ,Y=0)}{P(Y=0)}\lnl
&\qquad +\frac{ 5 \cdot P(X=5 , Y=0)}{P(Y=0)}\lnl
&= \frac{0.1 + 0.5}{0.2}\lnl
&= 3
\end{align}
E(X|Y=0) &= \frac{\sum_{x} x\cdot P(X=x , Y=0)}{P(Y=0)}\lnl
&= \frac{1 \cdot P(X=1 ,Y=0) + 3 \cdot P(X=3 ,Y=0)}{P(Y=0)}\lnl
&\qquad +\frac{ 5 \cdot P(X=5 , Y=0)}{P(Y=0)}\lnl
&= \frac{0.1 + 0.5}{0.2}\lnl
&= 3
\end{align}
(4)$V(X | Y=0)$
\begin{align}
E(X^2|Y=0) &= \frac{\sum_{x} x^2\cdot P(X=x , Y=0)}{P(Y=0)}\lnl
&= \frac{1^2 \cdot P(X=1 ,Y=0) + 3^2 \cdot P(X=3 ,Y=0)}{P(Y=0)} \lnl
&\qquad + \frac{5^2 \cdot P(X=5 , Y=0)}{P(Y=0)}\lnl
&= \frac{0.1 + 2.5}{0.2}\lnl
&= 13\Lnl
V(X|Y=0) &= E(X^2 | Y=0) – E(X|Y=0)^2\lnl
&= 4
\end{align}
E(X^2|Y=0) &= \frac{\sum_{x} x^2\cdot P(X=x , Y=0)}{P(Y=0)}\lnl
&= \frac{1^2 \cdot P(X=1 ,Y=0) + 3^2 \cdot P(X=3 ,Y=0)}{P(Y=0)} \lnl
&\qquad + \frac{5^2 \cdot P(X=5 , Y=0)}{P(Y=0)}\lnl
&= \frac{0.1 + 2.5}{0.2}\lnl
&= 13\Lnl
V(X|Y=0) &= E(X^2 | Y=0) – E(X|Y=0)^2\lnl
&= 4
\end{align}