ex6.5.1 分散未知の正規分布の平均の信頼上限と信頼下限

はじめに

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なお、問題文は(必要がない限り)掲載しておりません。テキストを横に置いてご覧ください。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex6.5.1

問題文に定義がないので念のため, $U$と$t_{n-1,\alpha}$の定義はテキストp238の通りと考える.
同ページに記載の通り,

\begin{align}
\frac{\overline{X}-\mu}{U/\sqrt{n}} \sim t_{n-1}
\end{align}

である.
従って,
\begin{align}
P\left(\overline{X}+t_{n-1,\alpha}\frac{U}{\sqrt{n}} \ge \mu \right)= P\left(\frac{\overline{X}-\mu}{U/\sqrt{n}} \ge -t_{n-1,\alpha}\right)= 1-\alpha
\end{align}

であるので,$100(1-\alpha)$%信頼上限は$\overline{X}+t_{n-1,\alpha}\cfrac{U}{\sqrt{n}}$である.同様にして
\begin{align}
P\left(\overline{X}-t_{n-1,\alpha}\frac{U}{\sqrt{n}} \le \mu \right)= P\left(\frac{\overline{X}-\mu}{U/\sqrt{n}} \le t_{n-1,\alpha}\right)= 1-\alpha
\end{align}

であるので、$100(1-\alpha)$%信頼下限は$\overline{X}-t_{n-1,\alpha}\cfrac{U}{\sqrt{n}}$である.