ex4.1.6 正規分布のランダム標本の統計量の分布

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex4.1.6

(a)

\begin{align}
T_1 \sim \mathrm{N}\left(\mu,\sigma^2\right)
\end{align}

(b)$X \sim \mathrm{N}\left(\mu,\sigma^2\right)$とおくと,$X$の積率母関数$M_X(t)$は,

\begin{align}
M_X(t) = \exp\left(\mu t + \frac{\sigma^2}{2}t^2\right)
\end{align}

である. これを使って$T_2$の積率母関数$M_T(t)$を求めると,
\begin{align}
M_T(t) &= M_X(t) M_{-X}(t)\lnl
&=E\left( e^{tX}\right)E\left( e^{-tX}\right) \lnl
&= M_X(t) M_X(-t)\lnl
&= \exp\left(\mu t + \frac{\sigma^2}{2}t^2\right)\exp\left(-\mu t + \frac{\sigma^2}{2}t^2\right)\lnl
&=\exp\left(\frac{2\sigma^2}{2}t^2\right)
\end{align}

これは$\mathrm{N}(0,2\sigma^2)$の積率母関数であるので,これが$T_2$の従う分布である.

(c)正規分布の再生性から,

\begin{align}
T_3 \sim \mathrm{N}\left(\mu,\frac{\sigma^2}{2}\right)
\end{align}

(d)同様に正規分布の再生性から,

\begin{align}
T_4 \sim \mathrm{N}\left(n\mu , n\sigma^2 \right)
\end{align}