ex6.1.3 ポアソン分布のパラメータの不偏推定量

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex6.1.3

(i)

\begin{align}
E(T(X)) &= E(2^X)\\
&= \sum_{x=0}^\infty 2^x \cdot \frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}\\
&= \underline{\sum_{x=0}^\infty \frac{(2\lambda)^x}{x!}e^{-2\lambda}} \cdot \frac{e^{-\lambda}}{e^{-2\lambda}}\\
&=e^{\lambda}
\end{align}

ただし、最後の等号は下線部がパラメータ$2\lambda$のポアソン分布の全確率に等しいことを利用した。
以上より題意は示された。