はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex3.1.7
まず$ P(X \ge 0.5) $を求める。
\begin{align}
P(X \ge 0.5) &= 1 – P(X< 0.5) \\ &= 1 - \int_0^{0.5} 2x \mathrm{d}x\\ &= 0.75 \end{align}
確率変数$Y$を$ Y \sim B(5,0.75) $とする。
(a)
P(X \ge 0.5) &= 1 – P(X< 0.5) \\ &= 1 - \int_0^{0.5} 2x \mathrm{d}x\\ &= 0.75 \end{align}
\begin{align}
P(Y = 2) = \binom{5}{2} (0.75)^2(0.25)^3
\end{align}
(b)
\begin{align}
P(Y \ge 1) &= 1 - P(Y=0) = 1 - (0.25)^5
\end{align}
(c)
二項分布の期待値は$np$ ,分散は$np(1-p)$となることから、
\begin{align}
E(Y) &= 5\times 0.75 = 3.75 = \frac{15}{4}\\
V(Y) &= 5\times 0.75 \times 0.25 = 0.9375 = \frac{15}{16}
\end{align}